(1) 반발 계수
진흙 덩어리나 밀가루 반죽 등은 마룻바닥에 충돌한 후 튀어 오르지 않지만 탁구공, 골프공, 테니스공과 같은 물체는 잘 튀어 오른다. 이와 같이 두 물체가 충돌할 때에는 물체가 무엇으로 만들어져 있는가에 따라 충돌 후 튕겨 나가는 모습이 다르다.
두 물체가 일직선상에서 속도 v1, v2로 운동하다가 충돌 후 같은 방향으로 v1', v2'로 되었을 때, 충돌 후 서로 멀어지는 속도 v2' - v1'과 충돌 전 서로 가까워지는 속도(충돌 전의 상대 속도) v1-v2의 비를 반발 계수라고 한다.
반발 계수(e)의 값 : 0<=e<=1
충돌하는 물체들의 반발하는 정도를 나타내는 반발 계수 e는 충돌 전의 상대 속도나 물체의 질량에는 관계없고, 두 물체를 구성하는 물질에 따라 결정된다. 충돌하는 물체가 화약 등에 의해 폭발하는 경우에는 폭발에 의해 화학 에너지가 물체의 운동 에너지로 변하게 되어 e>1인 경우가 된다.
(2) 충돌의 종류
물체가 충돌할 때 반발 계수 값에 관계없이 운동량 보존 법칙이 성립하며, 반발 계수 값에 따라 다음의 세 종류의 충돌로 구분된다.
1. 완전 탄성 충돌(탄성 충돌)
e=1일 때의 충돌로, 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다.
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2=1/2m1v1'^2+1/2m2v2'^2
기체 분자나 당구공 사이의 충돌은 근사적으로 탄성 충돌이며, 질량이 같을 때 충돌 전후의 속도가 서로 교환된다.
2. 비탄성 충돌
0<e<1일 때의 충돌로, 보통의 충돌은 이 경우에 속한다.
이때 멀어지는 속력(v2'-v1')은 가까워지는 속력(v1-v2)보다 작고, 운동 에너지의 일부는 열에너지 등으로 전환된다.
3. 완전 비탄성 충돌
e=0일 때의 충돌로, 충돌 후 두 물체가 완전히 합쳐진다. 이러한 충돌을 하는 물체를 완전 비탄성체라고 하며, 진흙이 이에 속한다.
(3) 일직선상의 충돌
일직선상에서 같은 방향으로 운동하는 질량 m1, m2인 두 공이 각각 v1, v2의 속도로 충돌하여 충돌 후의 속도가 각각 v1', v2'로 변하였다고 하면 운동량 보존 법칙과 반발 계수 식을 이용하여 충돌 후의 속도를 구할 수 있다.
운동량 보존 식 : m1v1' + m2v2' = m1v1 + m2v2
반발 계수 식 : v2'-v1' = e(v1-v2)
우의 두 식을 연립 방정식으로 푼 결과는 다음과 같다.
v1' = v1 - m2(1+e)/m1+m2(v1-v2)
v2' = v2 + m1(1+e)/m1+m2(v1-v2)
1. 질량이 같은 두 물체가 완전 탄성 충돌을 할 때
m1=m2=m, e=1이므로 위의 식에 대입하여 풀면 v1'=v2, v2'=v1이 된다. 즉, 같은 질량의 두 물체가 완전 탄성 충돌하면 서로 속도를 교환한다.
2. 두 물체가 완전 비탄성 충돌을 할 때
두 물체가 완전 비탄성 충돌을 할 때에는 반발 계수 e=0이므로 운동량 보존 법칙만으로 충돌 후의 속도를 구할 수 있다.
충돌 후의 속도를 v'이라고 하면 운동량 보존 법칙에서 다음과 같이 된다.
m1v1 + m2v2 = (m1+m2)v'
v'=m1v1+m2v2/m1+m2
3. 매끄러운 면에 비스듬히 충돌할 때
공이 매끄러운 벽 또는 마룻바닥에 비스듬히 충돌할 때 공은 면에 평행한 방향으로는 힘을 받지 않고 수직한 방향으로만 충격량을 받는다.
충돌 전후의 공의 속도를 각각 v, v', 면에 평행한 속도 성분을 각각 vy, vy', 면에 수직한 속도 성분을 각각 vx,vx'이라고 하면 수직한 성분만이 변하므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
면에 평행한 속도 성분 : vy=vy'
면에 수직한 속도 성분 : |vx'|=e|vx|
완전 탄성 충돌(e=1)의 경우에는 |vx'|=|vx|로 되어 v=v'가 성립하고, Θ=Θ'(입사각 = 반사각)가 된다.
4. 공이 마룻바닥과 충돌하여 튀어 오르는 경우
높이 h에서 자유 낙하한 공이 마룻바닥에 충돌한 후 h'까지 튀어 올랐다면 충돌 전의 속도 v=-sqrt(2gh)=-gt, 충돌 후 속도 v'=sqrt(2gh')=gt'이므로 반발 계수 e는 다음과 같다.
e=-v'/v = sqrt(2gh')/sqrt(2gh) = sqrt(h'/h) = t'/t
이때 튀어 오르는 높이 h'과 h'까지 올라가는 데 걸리는 시간 t'은 각각
h' = e^h, t'=et가 된다. 따라서 높이 h에서 자유 낙하시켜 공이 정지할 때까지 운동한 총 거리 s는
s=h+2e^2h+2e^4h+...=h+2h(e^2+e^4+...)
s=h+2he^2/(1-e)=(1+e)t/(1-e)
또한 완전 탄성 충돌(e=1)에서는 h'=h로 에너지 손실없이 같은 높이까지 반발된다.
(4) 운동량과 운동 에너지
질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 운동량 p = mv, 운동 에너지 K = 1/2mv^2이므로 운동 에너지는 다음과 같이 표시된다.
K=1/2mv^2 = p^2/2m
1. 분열과 운동 에너지
정지하고 있던 질량 M인 물체가 폭발에 의해 질량 m1, 속도 v1인 물체와 질량 m2, 속도 v2인 물체로 분열된다면 운동량 보존 법칙에 의해
m1v1-m2v2=0 v1/v2=m2/m1이 된다.
따라서 폭발에 의해 발생된 에너지가 E, 폭발 후 각 물체의 운동 에너지를 K1, K2라고 하면 운동 에너지 비는
K1/K2=(m1v2^2/2)/(m2v2^2/2) = v1/v2 = m2/m1이다.
따라서 E=K1 + K2이므로 K2 = m1K1/m2를 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
E=K1 + m1K1/m2 = (1+m1/m2)K1
K1 = m2E/m1+m2
K2 = m1E/m1+m2
2. 충돌과 운동 에너지
물체의 충돌 현상에서 운동량 보존 법칙은 항상 성립하지만, 탄성 충돌(e=1) 이외의 경우에는 운동 에너지 일부가 열로 변하기 때문에 역학적 에너지가 보존되지 않는다.
직선 위를 같은 방향으로 운동하는 질량 m1, m2, 속도 v1, v2인 두 공이 충돌 후 각각 v1', v2'의 속도가 되었을 때 반발 계수를 e라고 하면 운동량 보존 법칙과 반발 계수 식에서 v1'과 v2'은 각각 다음과 같다.
v1'=v1-(m2(1+e))(v1-v2)/m1+m2
v2'=v2+(m1(1+e))(v1-v2)/m1+m2
충돌 전후의 운동 에너지의 합을 각각 K, K'이라고 하면
K=1/2(m1v1^2 + m2v2^2)
K'=1/2(m1v1'^2 + m2v2'^2)
이므로, 이 식에 v1', v2' 값을 대입하여 정리하면 충돌 전후의 운동에너지 차는 다음과 같다.
K-K'=1/2(1-e^2)*m1m2(v1-v2)^2/m1+m2
2015년 12월 17일 목요일
운동량 보존
(1) 운동량과 충격량
1. 운동량
물체가 운동하고 있을 때 물체가 갖고 있는 운동 상태의 관성에 해당하는 양을 운동량이라고 한다. 따라서 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 물체는 운동 에너지(K=1/2mv^2)와 운동량 p를 가준다.
p=mv(kgm/s)
①운동량은 속도 v와 같은 방향을 갖는 벡터양이다.
②운동량 변화는 물체에 힘을 얼마나 오랜 시간 동안 작용했는가에 따라 정해진다.
③운동량 변화량 Δp는 나중 운동량 mv에서 처음 운동량 mv0을 뺀 값이다.
Δp=mv-mv0 (벡터 뺄셈)
④평면상에서의 운동량 변화량 : Δp=mv-mv0 (평행사변형법을 이용)
⑤운동하고 있는 물체가 충격량 FΔt를 받아 운동 방향이 변하는 경우 Δp=mv-mv0=p-p0이고, 크기는 다음과 같다.
|Δp| = sqrt(p0^2 + p^2 -2pp0cosΘ)
처음 운동량 p0와 나중 운동량 p의 크기가 같을 때(|p0| = |p| = mv)
Θ=60일때 Δp=mv Θ=90일때 Δp=sqrt(2)mv
Θ=120일때 Δp=sqrt(3)mv Θ=180일때 Δp=2mv
2. 충격량
충격량은 운동량과 같이 운동하고 있는 물체가 갖는 양이 아니라 물체들이 충돌과 같이 상호 작용할 때 한물체가 다른 물체에 줄 수 있는 양이다. 어떤 시간 t 동안에 물체에 주어진 힘 F의 총량, 즉 F와 시간 t의 곱 Ft를 충격량이라고 한다.
I=Ft(Ns)
충격량은 벡터양이고, 그 방향은 힘 F의 방향과 같다.
(2) 충격량-운동량 정리
평면상에서 속도 v0로 운동하고 있는 질량 m인 물체에 일정한 힘 F가 시간 t 동안 작용하여 속도가 v로 변하였다면 가속도 a=v-v0/t이므로 운동 방정식 F=ma에 대입하여 정리하면 다음의 관계가 성립한다.
Ft=mv-mv0
따라서 물체에 주어진 충격량은 운동량 변화량과 같음을 알 수 있다. 이것을 충격량-운동량 정리라고 한다.
(3) 충격력
오른쪽 그림과 같이 골프채와 단단한 골프공이 충돌할 때 충돌하는 도중에 공은 크게 변형이 진행되고 있다. 이와 같이 충돌하는 두 물체 사이에는 상대적으로 강한 힘이 짧은 시간 동안 작용한다. 이때 힘의 크기는 측정하기 어려우나 힘에 의한 총 충격량은 운동량 변화량을 측정하여 구할 수 있다.
짧은 시간만 작용하고 충격량 값밖에는 알 수 없는 큰 힘을 충격력이라고 한다. Δt 동안에 운동량이 Δmv만큼 변했다면 힘 F는
F=Δmv/Δt = Δp/Δt 이다. 즉, 힘은 운동량의 시간적 변화율이다.
1. 물체에 작용하는 힘이 일정할 때 작용 시간이 길어지면 운동량 변화량도 비례하여 커진다. → Δp∝Δt (F=일정)
2. 그림 (가), (나)와 같이 운동량 변화량이 일정할 때 작용 시간이 짧을수록 물체에 작용하는 힘은 커진다. → F∝1/Δt (Δp=일정)
(4) 운동량 보존 법칙
일직선상을 운동하는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A와 질량 m2, 속도 v2인 물체 B가 충돌하여 짧은 시간 후에 물체 A는 v1', B는 v2'으로 되었다. 이때 접촉하였다가 떨어질 때까지의 시간을 Δt, 이 동안에 물체 A가 B에 가하는 평균 힘을 F라고 하면 작용 반작용 법칙의 의해 물체 B가 A에 가하는 힘은 -F가 된다.
따라서 물체 B가 A로부터 받은 충격량을 FΔt라고 하면 물체 A가 B로부터 받은 충격량은 -FΔt가 되고, 충격량-운동량 정리에서
A : -FΔt = m1v1'-m1v1 B : FΔt = m2v2' - m2v2
이다. 위 두 식을 더해서 정리하면
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
(충돌 전 운동량 합) (충돌 후 운동량 합)
이다. 즉, 물체가 분열, 융합, 충돌할 때와 같이 물체들 사이에 서로 힘(내력)이 작용하여 속도가 변하더라도 외력이 작용하지 않으면 힘의 작용 전후의 운동량 총합은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 운동량 보존 법칙이라고 한다.
1. 운동량 보존 법칙
두 물체가 충돌하는 경우, 두 물체가 한 물체계로 합쳐지며 융합하는 경우, 한 물체가 두 개 이상의 물체로 분열하는 경우 및 총알이 물체를 관통하는 경우와 같이 매우 짧은 시간에 서로 힘을 작용하는 순간적인 현상에서 성립한다.
① 운동량은 벡터량이므로 운동량 합성은 벡터 합성으로 한다.
② 내력 : 충돌이나 분열일 때 두 물체 사이에 작용하는 내력은 충격력으로서 매우 크고 작용 시간이 매우 짧다. 이와 같은 경우에 내력의 충격량에 비하여 외력의 충격량이 무시 될 정도이면 운동량 보존 법칙이 성립한다.
2. 분열 또는 융합하는 경우
물체가 분열 또는 융합할 때 운동량 보존 법칙에 의해 다음 관계가 성립한다.
분열 : 0-mv-MV V/v=m/M
융합 : mv=(m+M)V V/v=m/m+M
1. 운동량
물체가 운동하고 있을 때 물체가 갖고 있는 운동 상태의 관성에 해당하는 양을 운동량이라고 한다. 따라서 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 물체는 운동 에너지(K=1/2mv^2)와 운동량 p를 가준다.
p=mv(kgm/s)
①운동량은 속도 v와 같은 방향을 갖는 벡터양이다.
②운동량 변화는 물체에 힘을 얼마나 오랜 시간 동안 작용했는가에 따라 정해진다.
③운동량 변화량 Δp는 나중 운동량 mv에서 처음 운동량 mv0을 뺀 값이다.
Δp=mv-mv0 (벡터 뺄셈)
④평면상에서의 운동량 변화량 : Δp=mv-mv0 (평행사변형법을 이용)
⑤운동하고 있는 물체가 충격량 FΔt를 받아 운동 방향이 변하는 경우 Δp=mv-mv0=p-p0이고, 크기는 다음과 같다.
|Δp| = sqrt(p0^2 + p^2 -2pp0cosΘ)
처음 운동량 p0와 나중 운동량 p의 크기가 같을 때(|p0| = |p| = mv)
Θ=60일때 Δp=mv Θ=90일때 Δp=sqrt(2)mv
Θ=120일때 Δp=sqrt(3)mv Θ=180일때 Δp=2mv
2. 충격량
충격량은 운동량과 같이 운동하고 있는 물체가 갖는 양이 아니라 물체들이 충돌과 같이 상호 작용할 때 한물체가 다른 물체에 줄 수 있는 양이다. 어떤 시간 t 동안에 물체에 주어진 힘 F의 총량, 즉 F와 시간 t의 곱 Ft를 충격량이라고 한다.
I=Ft(Ns)
충격량은 벡터양이고, 그 방향은 힘 F의 방향과 같다.
(2) 충격량-운동량 정리
평면상에서 속도 v0로 운동하고 있는 질량 m인 물체에 일정한 힘 F가 시간 t 동안 작용하여 속도가 v로 변하였다면 가속도 a=v-v0/t이므로 운동 방정식 F=ma에 대입하여 정리하면 다음의 관계가 성립한다.
Ft=mv-mv0
따라서 물체에 주어진 충격량은 운동량 변화량과 같음을 알 수 있다. 이것을 충격량-운동량 정리라고 한다.
(3) 충격력
오른쪽 그림과 같이 골프채와 단단한 골프공이 충돌할 때 충돌하는 도중에 공은 크게 변형이 진행되고 있다. 이와 같이 충돌하는 두 물체 사이에는 상대적으로 강한 힘이 짧은 시간 동안 작용한다. 이때 힘의 크기는 측정하기 어려우나 힘에 의한 총 충격량은 운동량 변화량을 측정하여 구할 수 있다.
짧은 시간만 작용하고 충격량 값밖에는 알 수 없는 큰 힘을 충격력이라고 한다. Δt 동안에 운동량이 Δmv만큼 변했다면 힘 F는
F=Δmv/Δt = Δp/Δt 이다. 즉, 힘은 운동량의 시간적 변화율이다.
1. 물체에 작용하는 힘이 일정할 때 작용 시간이 길어지면 운동량 변화량도 비례하여 커진다. → Δp∝Δt (F=일정)
2. 그림 (가), (나)와 같이 운동량 변화량이 일정할 때 작용 시간이 짧을수록 물체에 작용하는 힘은 커진다. → F∝1/Δt (Δp=일정)
(4) 운동량 보존 법칙
일직선상을 운동하는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A와 질량 m2, 속도 v2인 물체 B가 충돌하여 짧은 시간 후에 물체 A는 v1', B는 v2'으로 되었다. 이때 접촉하였다가 떨어질 때까지의 시간을 Δt, 이 동안에 물체 A가 B에 가하는 평균 힘을 F라고 하면 작용 반작용 법칙의 의해 물체 B가 A에 가하는 힘은 -F가 된다.
따라서 물체 B가 A로부터 받은 충격량을 FΔt라고 하면 물체 A가 B로부터 받은 충격량은 -FΔt가 되고, 충격량-운동량 정리에서
A : -FΔt = m1v1'-m1v1 B : FΔt = m2v2' - m2v2
이다. 위 두 식을 더해서 정리하면
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
(충돌 전 운동량 합) (충돌 후 운동량 합)
이다. 즉, 물체가 분열, 융합, 충돌할 때와 같이 물체들 사이에 서로 힘(내력)이 작용하여 속도가 변하더라도 외력이 작용하지 않으면 힘의 작용 전후의 운동량 총합은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 운동량 보존 법칙이라고 한다.
1. 운동량 보존 법칙
두 물체가 충돌하는 경우, 두 물체가 한 물체계로 합쳐지며 융합하는 경우, 한 물체가 두 개 이상의 물체로 분열하는 경우 및 총알이 물체를 관통하는 경우와 같이 매우 짧은 시간에 서로 힘을 작용하는 순간적인 현상에서 성립한다.
① 운동량은 벡터량이므로 운동량 합성은 벡터 합성으로 한다.
② 내력 : 충돌이나 분열일 때 두 물체 사이에 작용하는 내력은 충격력으로서 매우 크고 작용 시간이 매우 짧다. 이와 같은 경우에 내력의 충격량에 비하여 외력의 충격량이 무시 될 정도이면 운동량 보존 법칙이 성립한다.
2. 분열 또는 융합하는 경우
물체가 분열 또는 융합할 때 운동량 보존 법칙에 의해 다음 관계가 성립한다.
분열 : 0-mv-MV V/v=m/M
융합 : mv=(m+M)V V/v=m/m+M
행성의 원운동
(1)케플러 법칙
17세기 초 독일의 천문학자 케플러는 그의 스승인 덴마크의 천문학자인 티코 브라헤가 정밀하게 관측한 행성의 운동에 관한 관측 자료를 1601년부터 1621년까지 정리 분석하여 다음과 같은 세 가지 법칙을 발견하였다.
1. 제1법칙 | 태양계 내의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 운동한다.
●실제 행성들은 거의 원에 가까운 궤도를 그린다.
2. 제2법칙 | 태양과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 우주 공간에 그리는 면적은 항상 일정하다.
①제2법칙은 행성들의 공전 속력이 태양에서 먼 곳에서는 느리고, 가까운 곳에서는 빠르다는 것을 보여 준다.
②S1과 S2의 면적이 같을 때 행성이 A 지점에서 B 지점까지 가는 데 걸리는 시간과 C 지점에서 D 지점까지 가는 데 걸리는 시간은 같다.
3. 제3법칙 | 행성의 공전 주기 T의 제곱은 타원 궤도의 긴 반지름 R의 세제곱에 비례한다.
T^2 = kR^3
①제3법칙은 태양에서 먼 행성일수록 공전 주기가 길다는 것을 알려 준다.
②제3법칙은 뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하는 데 매우 중요한 역할을 하였다.
③중심력을 받으며 운동하는 물체의 면적 속도는 각 운동량에 비례한다. 행성의 면적 속도가 일정하다는 것은 행성의 각 운동량이 보존된다는 것을 뜻한다.
(2) 만유인력 법칙
케플러 제1법칙에 의하면 행성은 타원 운동을 하지만 타원이라도 거의 원에 가깝다. 이에따라 뉴턴은 행성의 운동을 등속 원운동하는 것으로 생각하여 행성에 작용하는 힘을 다음과 같이 유도하였다.
질량 m인 행성이 반지름 R의 원둘레상을 속력 v, 주기 T인 등속 원운동을 한다면 행성은 태양 쪽으로 구심력 F를 받는다. 구심력 F의 크기는
F=mRω^2 = mR(2π/T)^2 = 4π^2mR/T^2인데, 이것은 태양이 행성을 당기는 힘으로 케플러 제3법칙 T^2 = kR^3을 대입하면
F=4π^2m/kR^2 (태양이 행성을 당기는 힘)이 된다. 이 사실로 미루어 보면 행성도 거리 R의 제곱에 반비례하고 태양의 질량 M에 비례하는 힘 F'으로 태양을 당기고 있다고 생각할 수 있다.
F'=4π^2/k' * M/R^2 (행성이 태양을 당기는 힘)
작용 반작용 법칙에 의하면 F=F'이므로 4π^2/k이 태양의 질량 M에 비례하지 않으면 안된다. 따라서 새로운 상수 G를 도입하여 4π^2/k=GM이라고 하면, 태양과 행성 사이에 작용하는 힘 F는 다음과 같다.
F=GmM/R^2
이를 통해 뉴턴은 태양과 행성 사이에 작용하는 인력이 두 천체의 질량과 거리에 의해 결정되므로, 어떤 특정한 별에 한정되는 것이 아니라 질량이 있는 모든 두 물체 사이에 작용한다고 생각했다.
따라서 두 물체들 사이에 작용하는 만유인력의 크기 F는 각 물체의 질량 m1, m2의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리 r의 제곱의 반비례함을 알 수 있다.
F=Gm1m2/r^2
이것을 만유인력 법칙 또는 뉴턴의 중력 법칙이라 하고, G는 모든 물체의 공통적인 상수로서 만유인력 상수라고 한다.
(3) 만유인력에 의한 역학적 에너지
1. 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지
물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점에서 어떤 특정한 위치로 물체를 서서히 이동시키는 동안에 외력이 한 일이다.
지표면 가까이에 있는 물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점을 지표면으로 할 때 중력장의 세기 g가 일정하므로 mgh로 나타낸다.
질량 M인 지구 중심 O에서 거리 r인 P 지점에 있는 질량 m인 물체에 작용하는 만유인력의 크기 F는
F=GMm/r^2이다. 이때 F와 크기가 같고 방향이 정반대인 외력 F'을 물체에 가하면서 무한히 먼 곳까지 천천히 이동시키면 외력 F'이 한 일 W는 F-r 관계 그래프에서 아래 부분의 넓이와 같고, 그 크기는 W=GMm/r(J)이 된다. 이것은 두 물체들 사이의 만유인력 F에 대하여강제로 이동시킬 때 퍼텐셜 에너지로 전환되므로, 무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞와 거리 r에서의 퍼텐셜 에너지 U와의 차가 된다.
U∞-U=GMm/r
무한원에서는 두 물체들 사이의 만유인력도 0이 되므로 물체의 퍼텐셜 에너지 U∞도 0이 되어 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지를 측정하는 기준 위치가 된다. 따라서 질량 M인 물체가 만드는 만유인력장으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에 놓인 질량 m인 물체의 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U는 다음과 같다.
U=U∞-GMm/r
무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞는 0이므로
U=-GMm/r 이 된다.
2. 만유인력장에서의 역학적 에너지
역학적 에너지 보존 법칙은 물체가 중력이나 탄성력을 받으면서 운동하는 경우뿐만 아니라 만유인력을 받으면서 운동하는 경우에도 성립한다.
질량 M인 물체에서 거리 r만큼 떨어진 지점에 있는 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U=-GMm/r이고, 운동 에너지 K=1/2mv^2이다. 따라서 이 물체의 역학적 에너지 E는 다음과 같다.
E=K+U=1/2mv^2-GMm/r=일정
E<0인 경우 : 물체는 중력장에 속박되어 원운동 또는 타원 궤도를 그리는 운동을 한다.
E>=0인 경우 : 물체는 중력장을 탈출한다.
17세기 초 독일의 천문학자 케플러는 그의 스승인 덴마크의 천문학자인 티코 브라헤가 정밀하게 관측한 행성의 운동에 관한 관측 자료를 1601년부터 1621년까지 정리 분석하여 다음과 같은 세 가지 법칙을 발견하였다.
1. 제1법칙 | 태양계 내의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 운동한다.
●실제 행성들은 거의 원에 가까운 궤도를 그린다.
2. 제2법칙 | 태양과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 우주 공간에 그리는 면적은 항상 일정하다.
①제2법칙은 행성들의 공전 속력이 태양에서 먼 곳에서는 느리고, 가까운 곳에서는 빠르다는 것을 보여 준다.
②S1과 S2의 면적이 같을 때 행성이 A 지점에서 B 지점까지 가는 데 걸리는 시간과 C 지점에서 D 지점까지 가는 데 걸리는 시간은 같다.
3. 제3법칙 | 행성의 공전 주기 T의 제곱은 타원 궤도의 긴 반지름 R의 세제곱에 비례한다.
T^2 = kR^3
①제3법칙은 태양에서 먼 행성일수록 공전 주기가 길다는 것을 알려 준다.
②제3법칙은 뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하는 데 매우 중요한 역할을 하였다.
③중심력을 받으며 운동하는 물체의 면적 속도는 각 운동량에 비례한다. 행성의 면적 속도가 일정하다는 것은 행성의 각 운동량이 보존된다는 것을 뜻한다.
(2) 만유인력 법칙
케플러 제1법칙에 의하면 행성은 타원 운동을 하지만 타원이라도 거의 원에 가깝다. 이에따라 뉴턴은 행성의 운동을 등속 원운동하는 것으로 생각하여 행성에 작용하는 힘을 다음과 같이 유도하였다.
질량 m인 행성이 반지름 R의 원둘레상을 속력 v, 주기 T인 등속 원운동을 한다면 행성은 태양 쪽으로 구심력 F를 받는다. 구심력 F의 크기는
F=mRω^2 = mR(2π/T)^2 = 4π^2mR/T^2인데, 이것은 태양이 행성을 당기는 힘으로 케플러 제3법칙 T^2 = kR^3을 대입하면
F=4π^2m/kR^2 (태양이 행성을 당기는 힘)이 된다. 이 사실로 미루어 보면 행성도 거리 R의 제곱에 반비례하고 태양의 질량 M에 비례하는 힘 F'으로 태양을 당기고 있다고 생각할 수 있다.
F'=4π^2/k' * M/R^2 (행성이 태양을 당기는 힘)
작용 반작용 법칙에 의하면 F=F'이므로 4π^2/k이 태양의 질량 M에 비례하지 않으면 안된다. 따라서 새로운 상수 G를 도입하여 4π^2/k=GM이라고 하면, 태양과 행성 사이에 작용하는 힘 F는 다음과 같다.
F=GmM/R^2
이를 통해 뉴턴은 태양과 행성 사이에 작용하는 인력이 두 천체의 질량과 거리에 의해 결정되므로, 어떤 특정한 별에 한정되는 것이 아니라 질량이 있는 모든 두 물체 사이에 작용한다고 생각했다.
따라서 두 물체들 사이에 작용하는 만유인력의 크기 F는 각 물체의 질량 m1, m2의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리 r의 제곱의 반비례함을 알 수 있다.
F=Gm1m2/r^2
이것을 만유인력 법칙 또는 뉴턴의 중력 법칙이라 하고, G는 모든 물체의 공통적인 상수로서 만유인력 상수라고 한다.
(3) 만유인력에 의한 역학적 에너지
1. 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지
물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점에서 어떤 특정한 위치로 물체를 서서히 이동시키는 동안에 외력이 한 일이다.
지표면 가까이에 있는 물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점을 지표면으로 할 때 중력장의 세기 g가 일정하므로 mgh로 나타낸다.
질량 M인 지구 중심 O에서 거리 r인 P 지점에 있는 질량 m인 물체에 작용하는 만유인력의 크기 F는
F=GMm/r^2이다. 이때 F와 크기가 같고 방향이 정반대인 외력 F'을 물체에 가하면서 무한히 먼 곳까지 천천히 이동시키면 외력 F'이 한 일 W는 F-r 관계 그래프에서 아래 부분의 넓이와 같고, 그 크기는 W=GMm/r(J)이 된다. 이것은 두 물체들 사이의 만유인력 F에 대하여강제로 이동시킬 때 퍼텐셜 에너지로 전환되므로, 무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞와 거리 r에서의 퍼텐셜 에너지 U와의 차가 된다.
U∞-U=GMm/r
무한원에서는 두 물체들 사이의 만유인력도 0이 되므로 물체의 퍼텐셜 에너지 U∞도 0이 되어 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지를 측정하는 기준 위치가 된다. 따라서 질량 M인 물체가 만드는 만유인력장으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에 놓인 질량 m인 물체의 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U는 다음과 같다.
U=U∞-GMm/r
무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞는 0이므로
U=-GMm/r 이 된다.
2. 만유인력장에서의 역학적 에너지
역학적 에너지 보존 법칙은 물체가 중력이나 탄성력을 받으면서 운동하는 경우뿐만 아니라 만유인력을 받으면서 운동하는 경우에도 성립한다.
질량 M인 물체에서 거리 r만큼 떨어진 지점에 있는 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U=-GMm/r이고, 운동 에너지 K=1/2mv^2이다. 따라서 이 물체의 역학적 에너지 E는 다음과 같다.
E=K+U=1/2mv^2-GMm/r=일정
E<0인 경우 : 물체는 중력장에 속박되어 원운동 또는 타원 궤도를 그리는 운동을 한다.
E>=0인 경우 : 물체는 중력장을 탈출한다.
2015년 12월 16일 수요일
원운동
원운동하는 놀이기구나 회전하는 선풍기 날개의 한 점을 보면 원을 그리면서 일정한 속력으로 회전하는 것을 볼 수 있다. 이와 같이 물체가 반지름이 일정한 원둘레상을 일정한 속력으로 돌고 있는 운동을 등속 원운동이라고 한다.
1. 주기
물체가 원둘레상을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 주기라 하고, T로 표시한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 속력 v로 등속 원운동할 때 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v
2. 진동수
단위 시간 동안에 물체가 회전하는 횟수를 진동수라 하고, f나 v로 표시하며, 단위를 Hz를 사용한다. 진동수 f와 주기 T는 다음의 관계가 성립한다.
f=1/T, 1Hz = 1s^-1
3. 등속 원운동의 속력
물체가 등속 원운동을 할 때 물체의 속력은 일정하지만 물체의 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변하므로 속도 v는 일정하지 않고 계속 변한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 한 바퀴 도는 데 T초가 걸렸다면 물체의 속력 v는 다음과 같다.
v=2πr/T
4. 각속도
원운동하는 물체가 단위 시간 동안 회전한 중심각을 각속도라 하고, ω의 기호로 표시하며, 단위는 rad/s를 사용한다.
시간 t(s) 동안에 각 Θ만큼 회전하였다면 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t(rad/s) Θ=ωt(rad)
이 물체는 주기 T(s) 동안에 360, 즉 2π(rad)를 회전하므로 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t=2π/T(rad/s)
속력 v로 등속 원운동하는 물체가 t초 동안에 각 Θ(rad)만큼 회전하면 원둘레상을 운동한 거리 s(호의 길이)는 다음과 같다.
s=vt=rΘ
접선 방향의 속도 v와 각속도 ω의 관계는 v=2πr/T와 ω=2π/T에서
v=rω(m/s)이고, 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v=2π/ω=1/f(초)
(2) 구심 가속도
등속 원운동하는 물체는 속력이 일정하지만 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변한다.
따라서 등속 원운동은 시간에 따라 속도가 계속 변하는 가속도 운동이다.
등속 원운동하는 물체가 짧은 시간 Δt초 동안 점 P에서 Q로 이동하였다면 속도 변화량 Δv=v2-v1이다. 즉, 속도 v1, v2를 평행 이동 시켜 출발점 (C)을 일치하도록 하여 삼각형 ABC를 그리면 AB가 속도 변화량 Δv이다.
그림 (가)와 (나)에서 삼각형 PQO와 삼각형 ABC를 비교해 보면 중심각 POQ = ACB = Θ이고, 선분 OP=OQ=r, AC=BC=v이므로 삼각형 POQ (닮음) 삼각형 ACB가 된다.
두 삼각형의 닮음비에서 다음과 같은 식을 얻는다.
PQ/r=Δv/v
Δt를 매우 짧게 하면 호 PQ는 현 PQ와 같아지고, PQ = vΔt가 되므로 vΔt/r=|Δv|/v가 된다.
따라서 가속도 a의 크기는 a=|Δv|/Δt = v^2/r = rω^2 = 4π^2r/T^2 = vω(m/s^2)
이 된다. 또 가속도 a의 방향은 Δv의 방향과 같고, ΔΘ를 매우 작게 하면 Δv는 v1과 거의 직각을 이루게 되어 가속도의 방향은 원의 중심을 향한다. 따라서 등속 원운동에서의 가속도는 항상 원의 중심을 향하므로 구심 가속도라고 한다.
구심 가속도 a는 원의 중심을 향하고, 그 크기는 다음과 같다.
a=v^2/r=rω^2=4π^2r/T^2
구심 가속도의 크기는 일정하지만 가속도의 방향이 계속 변하므로 등가속도 운동은 아니다.
(3) 구심력
등속 원운동하는 물체는 그 속력이 일정하여도 원운동의 중심을 향하는 가속도가 필요하므로 이 가속도를 생기게 하는 중심 방향의 힘이 물체에 작용해야 한다. 이 힘은 가속도와 같이 항상 원의 중심을 향하므로 구심력이라고 한다.
구심력의 방향은 가속도의 방향, 즉 원의 중심 방향이고, 반지름 r인 원궤도를 도는 질량 m인 물체에 작용하는 구심력 F는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 다음과 같다.
F=ma=mv^2/r=mrω^2=4π^2mr/T^2 (ω=2π/T)
1. 일정한 크기의 힘이 항상 운동 방향에 수직한 방향으로 작용하면 이 힘이 구심력이 되어 물체는 등속 원운동을 하게 된다. 구심력의 방향은 항상 변하므로 크기는 일정해도 힘은 일정한 것이 아니다.
2. 구심력의 역할을 하는 힘
(1) 실의 장력 : 실에 매단 돌이 원운동할 때에는 실의 장력이 구심력이 된다.
(2) 마찰력 : 회전하는 원판 위의 물체나 수평면에서 자동차가 원운동할 때 지면과 타이어 사이의 마찰력이 구심력의 역할을 한다.
(3) 만유인력 : 지구나 그 밖의 행성이 태양 주위를 공전할 때 또는 인공위성이 지구 주위를 돌 때 만유인력이 구심력의 역할을 한다.
(4) 정전기력 : 원자핵 주위를 도는 전자의 운동은 전기력이 구심력의 역할을 한다.
1. 주기
물체가 원둘레상을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 주기라 하고, T로 표시한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 속력 v로 등속 원운동할 때 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v
2. 진동수
단위 시간 동안에 물체가 회전하는 횟수를 진동수라 하고, f나 v로 표시하며, 단위를 Hz를 사용한다. 진동수 f와 주기 T는 다음의 관계가 성립한다.
f=1/T, 1Hz = 1s^-1
3. 등속 원운동의 속력
물체가 등속 원운동을 할 때 물체의 속력은 일정하지만 물체의 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변하므로 속도 v는 일정하지 않고 계속 변한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 한 바퀴 도는 데 T초가 걸렸다면 물체의 속력 v는 다음과 같다.
v=2πr/T
4. 각속도
원운동하는 물체가 단위 시간 동안 회전한 중심각을 각속도라 하고, ω의 기호로 표시하며, 단위는 rad/s를 사용한다.
시간 t(s) 동안에 각 Θ만큼 회전하였다면 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t(rad/s) Θ=ωt(rad)
이 물체는 주기 T(s) 동안에 360, 즉 2π(rad)를 회전하므로 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t=2π/T(rad/s)
속력 v로 등속 원운동하는 물체가 t초 동안에 각 Θ(rad)만큼 회전하면 원둘레상을 운동한 거리 s(호의 길이)는 다음과 같다.
s=vt=rΘ
접선 방향의 속도 v와 각속도 ω의 관계는 v=2πr/T와 ω=2π/T에서
v=rω(m/s)이고, 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v=2π/ω=1/f(초)
(2) 구심 가속도
등속 원운동하는 물체는 속력이 일정하지만 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변한다.
따라서 등속 원운동은 시간에 따라 속도가 계속 변하는 가속도 운동이다.
등속 원운동하는 물체가 짧은 시간 Δt초 동안 점 P에서 Q로 이동하였다면 속도 변화량 Δv=v2-v1이다. 즉, 속도 v1, v2를 평행 이동 시켜 출발점 (C)을 일치하도록 하여 삼각형 ABC를 그리면 AB가 속도 변화량 Δv이다.
그림 (가)와 (나)에서 삼각형 PQO와 삼각형 ABC를 비교해 보면 중심각 POQ = ACB = Θ이고, 선분 OP=OQ=r, AC=BC=v이므로 삼각형 POQ (닮음) 삼각형 ACB가 된다.
두 삼각형의 닮음비에서 다음과 같은 식을 얻는다.
PQ/r=Δv/v
Δt를 매우 짧게 하면 호 PQ는 현 PQ와 같아지고, PQ = vΔt가 되므로 vΔt/r=|Δv|/v가 된다.
따라서 가속도 a의 크기는 a=|Δv|/Δt = v^2/r = rω^2 = 4π^2r/T^2 = vω(m/s^2)
이 된다. 또 가속도 a의 방향은 Δv의 방향과 같고, ΔΘ를 매우 작게 하면 Δv는 v1과 거의 직각을 이루게 되어 가속도의 방향은 원의 중심을 향한다. 따라서 등속 원운동에서의 가속도는 항상 원의 중심을 향하므로 구심 가속도라고 한다.
구심 가속도 a는 원의 중심을 향하고, 그 크기는 다음과 같다.
a=v^2/r=rω^2=4π^2r/T^2
구심 가속도의 크기는 일정하지만 가속도의 방향이 계속 변하므로 등가속도 운동은 아니다.
(3) 구심력
등속 원운동하는 물체는 그 속력이 일정하여도 원운동의 중심을 향하는 가속도가 필요하므로 이 가속도를 생기게 하는 중심 방향의 힘이 물체에 작용해야 한다. 이 힘은 가속도와 같이 항상 원의 중심을 향하므로 구심력이라고 한다.
구심력의 방향은 가속도의 방향, 즉 원의 중심 방향이고, 반지름 r인 원궤도를 도는 질량 m인 물체에 작용하는 구심력 F는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 다음과 같다.
F=ma=mv^2/r=mrω^2=4π^2mr/T^2 (ω=2π/T)
1. 일정한 크기의 힘이 항상 운동 방향에 수직한 방향으로 작용하면 이 힘이 구심력이 되어 물체는 등속 원운동을 하게 된다. 구심력의 방향은 항상 변하므로 크기는 일정해도 힘은 일정한 것이 아니다.
2. 구심력의 역할을 하는 힘
(1) 실의 장력 : 실에 매단 돌이 원운동할 때에는 실의 장력이 구심력이 된다.
(2) 마찰력 : 회전하는 원판 위의 물체나 수평면에서 자동차가 원운동할 때 지면과 타이어 사이의 마찰력이 구심력의 역할을 한다.
(3) 만유인력 : 지구나 그 밖의 행성이 태양 주위를 공전할 때 또는 인공위성이 지구 주위를 돌 때 만유인력이 구심력의 역할을 한다.
(4) 정전기력 : 원자핵 주위를 도는 전자의 운동은 전기력이 구심력의 역할을 한다.
2015년 12월 12일 토요일
포물선 운동
(1) 포물선 운동
포물선 운동(projectile motion)은 수평 방향(x축) 운동과 연직 방향(y축) 운동으로 분해하여 생각할 수 있다. 이때 각 방향의 힘(분력)이 그 방향의 운동에 관계하므로 포물선 운동은 서로 독립된 직선 운동을동시에 하고 있는 것과 같은 모양이 된다.
공기 저항을 무시하면 포물선 운동하는 물체는 수평 방향(x축)으로는 힘을 받지 않으므로 수평 방향의 가속도는 0이다. 따라서 수평 방향의 속도는 변하지 않고 등속 직선 운동(등속도 운동)을 한다. 연직 방향(y축)으로는 중력만을 받으므로 연직 아랫 방향의 가속도 g(중력 가속도)인 등가속도 직선 운동을 한다.
(2) 수평 방향으로 던져진 물체의 운동
수평 방향으로 던져진 물체는 수평 방향으로는 등속 직선 운동(등속도 운동)을 하고, 연직 방향으로는 자유 낙하 운동(등가속도 운동)을 한다.
1. 물체에 작용하는 힘과 운동의 해석
수평으로 초속도 v0로 던져진 물체는 수평 방향으로는 힘을 받지 않고, 연직 아랫방향으로만 중력 F=mg를 받는다.
2. 시간 t초 후의 속도(v)
수평 방향(x축)은 등속도 운동이고, 연직 방향(y축)은 자유 낙하 운동이다.
시간 t초 후 물체의 속도 v의 x 성분과 y 성분을 각각 vx, vy라고 하면
vx=v0 (등속도 운동), vy=gt(자유 낙하 운동)
이다. 따라서 t초 후의 속도 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v = sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + (gt)^2), 방향 : tanθ = vy/vx = gt/v0
3. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후의 위치 x, y는 다음과 같다.
등속도 운동 : x=v0t, 자유 낙하 운동 : y=1/2gt^2
4. 운동 경로의 식 | 위 두 식에서 시간 t를 소거하면 경로의 식은 다음과 같다.
y=1/2g(x/v0)^2=gx^2/2v0^2
5. 지면 도달 시간(t) | 자유 낙하하는 시간과 같다.
h=1/2gt^2에서 t=sqrt(2h/g)
6. 수평 도달 거리(R) | 낙하 시간 t 동안 등속도 운동을 하므로 수평 도달 거리 R는 다음과 같다.
R=v0t=v0*sqrt(2h/g)
7. 지면 도달 속도(v) | 지면 도달 속도 v의 수평 성분은 vx=v0이고, 연직 성분은 vy = gt = sqrt(2gh)이므로 지면 도달 속도 v는 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + 2gh) 방향 : tanθ = vy/vx = sqrt(2gh)/v0
(3) 비스듬히 위로 던져 올린 물체의 운동
수평면과 각 θ를 이룬 방향으로 초속도 v0로 던져 올린 물체는 공기 저항을 무시할 때 수평 방향으로는 힘을 받지 않고 연직 방향으로만 중력을 받는다.
따라서 이러한 포물선 운동은 수평 방향으로는 등속도 운동으로, 연직 방향으로는 연직 투상 운동으로 해석하면 된다.
1. 시간 t초 후의 속도(v) | 시간 t초 후 물체의 속도 v의 수평 성분 vx와 연직 성분 vy는 다음과 같다.
vx=v0x=v0cosθ(등속도 운동)
vy=v0y-gt=v0sinθ-gt(연직 투상 운동)
속도 v와 수평 방향이 이루는 각을 파이라고 하면 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) 방향 : tanΦ=vy/vx=v0sinθ-gt/v0cosθ
2. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후 물체의 위치는 출발점을 원점으로 할 때 좌표 (x, y)로 표시한다.
x=v0cosθt
y=v0yt-1/2gt^2=v0sinθt-1/2gt^2
3. 운동 경로의 식 | 위의 두 식에서 t를 소거하여 운동 경로의 식을 구한다.
y=tanθx - gx^2/2v0^2cos^2θ
4. 포물선 운동의 최고점 | 비스듬히 던져 올린 물체가 최고점에 도달하면 물체의 속도는 수평 방향 성분이 v0cosθ이고, 연직 방향의 성분은 0이 된다. 따라서 최고점의 높이와 소요 시간 등을 구할 때에는 그 점에서 연직 방향의 상승 속도가 0이므로 y 방향의 운동 공식에 vy=0을 대입하여 구한다.
크기 : v=vx=v0x=v0cosθ
최고점 도달 시간 : 최고점 도달 시간은 vy=0일 때의 시간이므로 vy=v0sinθ-gt에서 구한다.
최고점 높이 : 연직 방향의 초속도 v0y = v0sinθ이고 최고점에서 vy=0이므로 -2gy = vy^2-v0y^2
최고점까지의 수평 거리 : 수평 방향으로는 초속도 v0cosθ로 등속도 운동을 한다
(4) 포물선 운동과 역학적 에너지 보존 법칙
자유 낙하시킨 물체뿐만 아니라 공중으로 던져 올린 물체는 공기 저항력을 무시하면 중력만 받으면서 운동하므로 역학적 에너지 보존 법칙이 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 질량 m인 물체가 초속도 v0로 지면(O점)에서 비스듬히 윗방향으로 던져 올려졌을 때 O점에서 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는
퍼텐셜 에너지 U0=0, 운동 에너지 K0=1/2mv0^2
이다. 따라서 O점에서 물체의 역학적 에너지 E0는
E0 = K0 + U0 = 1/2mv0^2
인데, 초속도 v0를 수평 성분 v0x와 연직 성분 v0y로 분해하면 E0는
E0 = 1/2mv0^2 = 1/2m(v0x^2 + v0y^2)
이다. 이때 임의의 높이 y인 P점에서 물체의 속도가 v이면 역학적 에너지 E는
E=U+K=mgy+1/2mv^2 = mgy + 1/2mvx^2 + 1/2mvy^2
=mgy+1/2mv0x^2 + 1/2m(v0y^2 - 2gy)
=1/2mv0x^2 + 1/2mv0y^2 = 1/2mv0^2
가 되어 던져 올릴 때의 역학적 에너지 E0와 같게 된다. 이로부터 포물선 운동에서 운동 중의 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총합은 일정하게 보존된다는 것을 알 수 있다.
또한 마찰이 없는 곡면을 따라 운동하는 물체의 경우에도 항상 역학적 에너지가 일정하게 보존된다. 따라서 마찰이나 저항이 무시되는 경우 중력장에서 물체의 운동은 역학적 에너지 보존 법칙으로 해석하면 쉽게 이해된다.
3. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후의 위치 x, y는 다음과 같다.
등속도 운동 : x=v0t, 자유 낙하 운동 : y=1/2gt^2
4. 운동 경로의 식 | 위 두 식에서 시간 t를 소거하면 경로의 식은 다음과 같다.
y=1/2g(x/v0)^2=gx^2/2v0^2
5. 지면 도달 시간(t) | 자유 낙하하는 시간과 같다.
h=1/2gt^2에서 t=sqrt(2h/g)
6. 수평 도달 거리(R) | 낙하 시간 t 동안 등속도 운동을 하므로 수평 도달 거리 R는 다음과 같다.
R=v0t=v0*sqrt(2h/g)
7. 지면 도달 속도(v) | 지면 도달 속도 v의 수평 성분은 vx=v0이고, 연직 성분은 vy = gt = sqrt(2gh)이므로 지면 도달 속도 v는 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + 2gh) 방향 : tanθ = vy/vx = sqrt(2gh)/v0
(3) 비스듬히 위로 던져 올린 물체의 운동
수평면과 각 θ를 이룬 방향으로 초속도 v0로 던져 올린 물체는 공기 저항을 무시할 때 수평 방향으로는 힘을 받지 않고 연직 방향으로만 중력을 받는다.
따라서 이러한 포물선 운동은 수평 방향으로는 등속도 운동으로, 연직 방향으로는 연직 투상 운동으로 해석하면 된다.
1. 시간 t초 후의 속도(v) | 시간 t초 후 물체의 속도 v의 수평 성분 vx와 연직 성분 vy는 다음과 같다.
vx=v0x=v0cosθ(등속도 운동)
vy=v0y-gt=v0sinθ-gt(연직 투상 운동)
속도 v와 수평 방향이 이루는 각을 파이라고 하면 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) 방향 : tanΦ=vy/vx=v0sinθ-gt/v0cosθ
2. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후 물체의 위치는 출발점을 원점으로 할 때 좌표 (x, y)로 표시한다.
x=v0cosθt
y=v0yt-1/2gt^2=v0sinθt-1/2gt^2
3. 운동 경로의 식 | 위의 두 식에서 t를 소거하여 운동 경로의 식을 구한다.
y=tanθx - gx^2/2v0^2cos^2θ
4. 포물선 운동의 최고점 | 비스듬히 던져 올린 물체가 최고점에 도달하면 물체의 속도는 수평 방향 성분이 v0cosθ이고, 연직 방향의 성분은 0이 된다. 따라서 최고점의 높이와 소요 시간 등을 구할 때에는 그 점에서 연직 방향의 상승 속도가 0이므로 y 방향의 운동 공식에 vy=0을 대입하여 구한다.
크기 : v=vx=v0x=v0cosθ
최고점 도달 시간 : 최고점 도달 시간은 vy=0일 때의 시간이므로 vy=v0sinθ-gt에서 구한다.
최고점 높이 : 연직 방향의 초속도 v0y = v0sinθ이고 최고점에서 vy=0이므로 -2gy = vy^2-v0y^2
최고점까지의 수평 거리 : 수평 방향으로는 초속도 v0cosθ로 등속도 운동을 한다
(4) 포물선 운동과 역학적 에너지 보존 법칙
자유 낙하시킨 물체뿐만 아니라 공중으로 던져 올린 물체는 공기 저항력을 무시하면 중력만 받으면서 운동하므로 역학적 에너지 보존 법칙이 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 질량 m인 물체가 초속도 v0로 지면(O점)에서 비스듬히 윗방향으로 던져 올려졌을 때 O점에서 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는
퍼텐셜 에너지 U0=0, 운동 에너지 K0=1/2mv0^2
이다. 따라서 O점에서 물체의 역학적 에너지 E0는
E0 = K0 + U0 = 1/2mv0^2
인데, 초속도 v0를 수평 성분 v0x와 연직 성분 v0y로 분해하면 E0는
E0 = 1/2mv0^2 = 1/2m(v0x^2 + v0y^2)
이다. 이때 임의의 높이 y인 P점에서 물체의 속도가 v이면 역학적 에너지 E는
E=U+K=mgy+1/2mv^2 = mgy + 1/2mvx^2 + 1/2mvy^2
=mgy+1/2mv0x^2 + 1/2m(v0y^2 - 2gy)
=1/2mv0x^2 + 1/2mv0y^2 = 1/2mv0^2
가 되어 던져 올릴 때의 역학적 에너지 E0와 같게 된다. 이로부터 포물선 운동에서 운동 중의 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총합은 일정하게 보존된다는 것을 알 수 있다.
또한 마찰이 없는 곡면을 따라 운동하는 물체의 경우에도 항상 역학적 에너지가 일정하게 보존된다. 따라서 마찰이나 저항이 무시되는 경우 중력장에서 물체의 운동은 역학적 에너지 보존 법칙으로 해석하면 쉽게 이해된다.
연직 운동
(1) 지구의 중력
지구상의 물체는 지구의 각 부분으로부터 만유인력을 받고 있으며, 이들의 합력이 물체가 지구로부터 받는 인력이다. 물체들 사이에 작용하는 만유인력만에 의한 가속도를 중력 가속도라고 한다.
지구 반지름을 R, 지구 질량을 M, 만유인력 상수를 G, 물체의 질량을 m, 중력 가속도를 g라고 하면 중력 가속도는 다음과 같다.
만유인력 = 중력, 즉 F = GMn/R^2 = mg
g = GM/R^2, GM = gR^2 = g'r^2 = 일정
지구 표면 근처의 물체에는 만유인력 외에도 지구 자전에 의한 원심력이 작용하고 있다. 이 두 힘의 합력이 물체에 작용하는 알짜힘, 즉 지구의 중력이다.
(2) 중력 가속도
공기의 저항과 지구 자전 효과를 무시하면 지표면 근처의 동일한 장소에서 낙하하는 물체는 물체의 질량, 모양, 크기 등에 관계없이 일정한 가속도가 생긴다. 이 가속도를 중력 가속도라 하고, g로 나타낸다.
g=9.8m/s^2
1. 중력 가속도는 연직 아래 방향, 즉 지구 중심을 향한다.
2. 지표면에서의 모든 낙하 운동은 등가속도 운동이다.
3. 물체에 작용하는 중력(무게) F=mg이다.
4. 중력 가속도는 장소에 따라 약간씩 다르나 평균 9.8m/s^2이다.
5. 중력 가속도 g값은 지구 자전에 의한 원심력의 영향과 지구 타원체에 의해 적도 지방이 가장 작고, 양 극지방으로 갈수록 커진다.
자유 낙하 운동
손에 들고 있는 물체를 가만히 놓아 떨어뜨릴 때와 같이 초속도 없이 중력에 의해 낙하하는 등가속도 직선 운동을 자유 낙하라고 한다.
공기의 저항을 무시하고 연직 방향으로 고도가 높지 않은 범위 내에서 중력 가속도 g는 일정하다고 볼 수 있으므로 자유 낙하 운동은 등가속도 직선 운동이 된다.
(1) 자유 낙하 운동 공식
자유 낙하 운동은 처음 위치를 원점으로 하고, 그 위치에서 연직 아랫방향을 (+) 방향으로 하면 v0=0, a=g인 등가속도 직선 운동이다.
1. 낙하거리 s만큼 자유 낙하하는 데 걸리는 시간 (t) : s-t 공식 s=1/2gt^2에서
t=sqrt(2s/g)
2. 변위 s만큼 자유 낙하한 물체의 속도 (v) : s-v 공식 2gs=v^2에서
v=sqrt(2gs)
(2) 자유 낙하 운동과 역학적 에너지 보존
물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합을 역학적 에너지라고 한다. 일반적으로 마찰력이나 공기의 저항력이 무시될 때 물체의 운동 상태가 변하여도 물체가 가지고 있는 역학적 에너지는 서로 전환되지만 그 전체의 양은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 역학적 에너지 보존 법칙이라고 한다.
K1 + U1 = K2 + U2 = 일정
처음 역학적 에너지 = 나중 역학적 에너지
질량 m인 물체가 기준면으로 부터 높이 H인 곳에서 자유 낙하하는 경우를 생각해 보자.
높이 h1에서의 속도가 v1, 높이 h2에서의 속도가 v2일 때 등가속도 운동 공식 2as = v^2 - v0^2에 a=g이고, v=v2, v0=v1, s=h1-h2를 대입하면
2g(h1-h2) = v2^2-v1^2이 된다. 이 식의 양 변에 각각 1/2m을 곱하면
mg(h1-h2) = 1/2mv2^2 + mgh2 = 일정
따라서 역학적 에너지는 운동의 임의의 점에서 일정하게 보존됨을 알 수 있다.
물체가 높이 H에서 h1까지 자유 낙하할 때 낙하한 거리는 H-h1이므로 속도 v1은 2as = v^2-v0^2에 a=g, s=H-h1, v=v1, v0=0을 대입하면
v1=sqrt(2g(H-h1) 이 된다. 이것을 높이 h1에서의 역학적 에너지에 대입하면
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2m[sqrt(2g(H-h1))]^2 + mgh1 = mgH
이다. 즉, 높이 h1에서의 역학적 에너지는 처음의 역학적 에너지와 같다. 따라서 역학적 에너지는 높이에 관계없이 항상 같음을 알 수 있다.
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2mv2^2 + mgh2 = mgH = 1/2mV^2(=일정)
이 관계식은 마찰이 무시될 때 중력장 내의 모든 운동에 적용할 수 있다.
2. 자유 낙하 운동의 에너지 그래프 : 자유 낙하할 때 물체의 운동 에너지(K), 퍼텐셜 에너지(U), 역학적 에너지(E)의 낙하거리(h)와 낙하 시간(t)의 관계 그래프는 오른쪽과 같이 된다.
(3) 연직 방향으로 던져진 물체의 운동
1. 연직 아래로 던져진 물체의 운동(연직 투하 운동)
연직 아랫방향으로 초속도 v0로 던져진 물체에 작용하는 힘은 중력뿐이므로 중력 가속도 g로 등가속도 운동을 한다. 물체가 손을 떠날 때까지는 손에서 힘을 받아 가속되지만 물체가 초속도 v0로 손을 떠나면 그 후에는 손에서는 힘을 받지 않고 중력에 의해서만 가속된다.
시각 0인 원점에서 물체를 초속도 v0로 아래로 던진 후 시각 t에서의 물체의 속도 v와 낙하한 거리 s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=g를 대입하여 구한다.
(2) 연직 위로 던져 올린 물체의 운동(연직 투상 운동)
연직 위로 던져 올린 물체의 운동은 올라가면서 속력이 점점 감소하고, 최고 높이에서 속력이 0이 되었다가 낙하하면서 점점 증가한다.
연직 위로 초속도 v0로 던져진 물체는 운동하는 동안 연직 아래쪽으로 중력(F=mg)을 받는다. 따라서 물체는 연직 아랫방향(힘의 방향)의 가속도 g가 생기므로 매초 9.8m/s씩 속도가 감소한다.
즉, 초속도 v0과 중력 가속도 g의 방향이 반대이므로 초속도 방향을 (+)로 하면 물체는 가속도가 -g인 등가속도 직선 운동을 한다.
시각 0에서 물체를 초속도 v0로 던져 올렸다면 시각 t에서 물체의 속도 v와 변위(운동 거리) s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=-g를 대입하여 구한다.
1. 최고점 도달 시간(t1)과 높이(H) : 연직 아래로 중력이 작용하므로 연직 위로 던져진 물체는 얼마 후 최고 높이에 도달하며, 그때 물체의 속도는 0이 된다. 즉, 운동 방향이 정반대로 변하는 순간의 속도는 0이 된다.
최고점 도달 시간(t1) 최고점에서 속도 v=0이므로 v=v0-gt를 이용하면 0=v0-gt1에서 최고점까지 올라가는 데 걸리는 시간 t1은 다음과 같다.
t1=v0/g
최고점 높이 (H) 최고점에서 속도 v=0이므로 -2gs = v^2-v0^2에 s=H, v=0을 대입하면 -2gH = 0-v0^2에서 최고점 높이 H는 다음과 같다.
H = v0^2/2g
2. 출발점(처음 위치) 도달 시간(t2)와 속도(v2) : 연직 상방으로 초속도 v0로 던져진 물체가 다시 처음 위치인 출발점에 도달하는 시간을 t2라고 하면 그때의 변위 s는 0이 되므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
s=v0t2 - 1/2gt2^2=0에서 t2!=0이므로 t2=2v0/g = 2t1
-2gs = v2^2-v0^2=0에서 v2=-v0
처음 위치로 되돌아오는 시간(t2)은 최고점 도달 시간(t1)의 2배이고, 이때의 속도는 초속도(v0)의 크기와 같고 방향은 반대가 된다.
최고점 도달 시간(t1)과 최고점에서 처음 위치인 출발점까지 낙하하는 데 걸린 시간은 같다.
3. 연직 투상 운동의 대칭성
최고점 높이까지 상승하는 운동(속도가 v0->0이 되는 운동)와 최고점에서 처음 위치까지 낙하하는 운동(속도가 0 -> v0가 되는 운동)는 대칭적이다.
최고점 높이(H)에 도달하는 시간(t1)과 최고점에서 낙하하여 처음 출발 위치에 도달하는 시간은 같다. 또 최고점에서 낙하 운동은 자유 낙하 운동이다.
임의의 높이에서 상승 속도와 낙하 속도는 크기가 같고 반대 방향이다.
어느 높이까지 올라가는 시간과 그 높이에서 처음 위치로 낙하하는 시간은 같다.
지구상의 물체는 지구의 각 부분으로부터 만유인력을 받고 있으며, 이들의 합력이 물체가 지구로부터 받는 인력이다. 물체들 사이에 작용하는 만유인력만에 의한 가속도를 중력 가속도라고 한다.
지구 반지름을 R, 지구 질량을 M, 만유인력 상수를 G, 물체의 질량을 m, 중력 가속도를 g라고 하면 중력 가속도는 다음과 같다.
만유인력 = 중력, 즉 F = GMn/R^2 = mg
g = GM/R^2, GM = gR^2 = g'r^2 = 일정
지구 표면 근처의 물체에는 만유인력 외에도 지구 자전에 의한 원심력이 작용하고 있다. 이 두 힘의 합력이 물체에 작용하는 알짜힘, 즉 지구의 중력이다.
(2) 중력 가속도
공기의 저항과 지구 자전 효과를 무시하면 지표면 근처의 동일한 장소에서 낙하하는 물체는 물체의 질량, 모양, 크기 등에 관계없이 일정한 가속도가 생긴다. 이 가속도를 중력 가속도라 하고, g로 나타낸다.
g=9.8m/s^2
1. 중력 가속도는 연직 아래 방향, 즉 지구 중심을 향한다.
2. 지표면에서의 모든 낙하 운동은 등가속도 운동이다.
3. 물체에 작용하는 중력(무게) F=mg이다.
4. 중력 가속도는 장소에 따라 약간씩 다르나 평균 9.8m/s^2이다.
5. 중력 가속도 g값은 지구 자전에 의한 원심력의 영향과 지구 타원체에 의해 적도 지방이 가장 작고, 양 극지방으로 갈수록 커진다.
자유 낙하 운동
손에 들고 있는 물체를 가만히 놓아 떨어뜨릴 때와 같이 초속도 없이 중력에 의해 낙하하는 등가속도 직선 운동을 자유 낙하라고 한다.
공기의 저항을 무시하고 연직 방향으로 고도가 높지 않은 범위 내에서 중력 가속도 g는 일정하다고 볼 수 있으므로 자유 낙하 운동은 등가속도 직선 운동이 된다.
(1) 자유 낙하 운동 공식
자유 낙하 운동은 처음 위치를 원점으로 하고, 그 위치에서 연직 아랫방향을 (+) 방향으로 하면 v0=0, a=g인 등가속도 직선 운동이다.
1. 낙하거리 s만큼 자유 낙하하는 데 걸리는 시간 (t) : s-t 공식 s=1/2gt^2에서
t=sqrt(2s/g)
2. 변위 s만큼 자유 낙하한 물체의 속도 (v) : s-v 공식 2gs=v^2에서
v=sqrt(2gs)
(2) 자유 낙하 운동과 역학적 에너지 보존
물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합을 역학적 에너지라고 한다. 일반적으로 마찰력이나 공기의 저항력이 무시될 때 물체의 운동 상태가 변하여도 물체가 가지고 있는 역학적 에너지는 서로 전환되지만 그 전체의 양은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 역학적 에너지 보존 법칙이라고 한다.
K1 + U1 = K2 + U2 = 일정
처음 역학적 에너지 = 나중 역학적 에너지
질량 m인 물체가 기준면으로 부터 높이 H인 곳에서 자유 낙하하는 경우를 생각해 보자.
높이 h1에서의 속도가 v1, 높이 h2에서의 속도가 v2일 때 등가속도 운동 공식 2as = v^2 - v0^2에 a=g이고, v=v2, v0=v1, s=h1-h2를 대입하면
2g(h1-h2) = v2^2-v1^2이 된다. 이 식의 양 변에 각각 1/2m을 곱하면
mg(h1-h2) = 1/2mv2^2 + mgh2 = 일정
따라서 역학적 에너지는 운동의 임의의 점에서 일정하게 보존됨을 알 수 있다.
물체가 높이 H에서 h1까지 자유 낙하할 때 낙하한 거리는 H-h1이므로 속도 v1은 2as = v^2-v0^2에 a=g, s=H-h1, v=v1, v0=0을 대입하면
v1=sqrt(2g(H-h1) 이 된다. 이것을 높이 h1에서의 역학적 에너지에 대입하면
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2m[sqrt(2g(H-h1))]^2 + mgh1 = mgH
이다. 즉, 높이 h1에서의 역학적 에너지는 처음의 역학적 에너지와 같다. 따라서 역학적 에너지는 높이에 관계없이 항상 같음을 알 수 있다.
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2mv2^2 + mgh2 = mgH = 1/2mV^2(=일정)
이 관계식은 마찰이 무시될 때 중력장 내의 모든 운동에 적용할 수 있다.
2. 자유 낙하 운동의 에너지 그래프 : 자유 낙하할 때 물체의 운동 에너지(K), 퍼텐셜 에너지(U), 역학적 에너지(E)의 낙하거리(h)와 낙하 시간(t)의 관계 그래프는 오른쪽과 같이 된다.
(3) 연직 방향으로 던져진 물체의 운동
1. 연직 아래로 던져진 물체의 운동(연직 투하 운동)
연직 아랫방향으로 초속도 v0로 던져진 물체에 작용하는 힘은 중력뿐이므로 중력 가속도 g로 등가속도 운동을 한다. 물체가 손을 떠날 때까지는 손에서 힘을 받아 가속되지만 물체가 초속도 v0로 손을 떠나면 그 후에는 손에서는 힘을 받지 않고 중력에 의해서만 가속된다.
시각 0인 원점에서 물체를 초속도 v0로 아래로 던진 후 시각 t에서의 물체의 속도 v와 낙하한 거리 s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=g를 대입하여 구한다.
(2) 연직 위로 던져 올린 물체의 운동(연직 투상 운동)
연직 위로 던져 올린 물체의 운동은 올라가면서 속력이 점점 감소하고, 최고 높이에서 속력이 0이 되었다가 낙하하면서 점점 증가한다.
연직 위로 초속도 v0로 던져진 물체는 운동하는 동안 연직 아래쪽으로 중력(F=mg)을 받는다. 따라서 물체는 연직 아랫방향(힘의 방향)의 가속도 g가 생기므로 매초 9.8m/s씩 속도가 감소한다.
즉, 초속도 v0과 중력 가속도 g의 방향이 반대이므로 초속도 방향을 (+)로 하면 물체는 가속도가 -g인 등가속도 직선 운동을 한다.
시각 0에서 물체를 초속도 v0로 던져 올렸다면 시각 t에서 물체의 속도 v와 변위(운동 거리) s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=-g를 대입하여 구한다.
1. 최고점 도달 시간(t1)과 높이(H) : 연직 아래로 중력이 작용하므로 연직 위로 던져진 물체는 얼마 후 최고 높이에 도달하며, 그때 물체의 속도는 0이 된다. 즉, 운동 방향이 정반대로 변하는 순간의 속도는 0이 된다.
최고점 도달 시간(t1) 최고점에서 속도 v=0이므로 v=v0-gt를 이용하면 0=v0-gt1에서 최고점까지 올라가는 데 걸리는 시간 t1은 다음과 같다.
t1=v0/g
최고점 높이 (H) 최고점에서 속도 v=0이므로 -2gs = v^2-v0^2에 s=H, v=0을 대입하면 -2gH = 0-v0^2에서 최고점 높이 H는 다음과 같다.
H = v0^2/2g
2. 출발점(처음 위치) 도달 시간(t2)와 속도(v2) : 연직 상방으로 초속도 v0로 던져진 물체가 다시 처음 위치인 출발점에 도달하는 시간을 t2라고 하면 그때의 변위 s는 0이 되므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
s=v0t2 - 1/2gt2^2=0에서 t2!=0이므로 t2=2v0/g = 2t1
-2gs = v2^2-v0^2=0에서 v2=-v0
처음 위치로 되돌아오는 시간(t2)은 최고점 도달 시간(t1)의 2배이고, 이때의 속도는 초속도(v0)의 크기와 같고 방향은 반대가 된다.
최고점 도달 시간(t1)과 최고점에서 처음 위치인 출발점까지 낙하하는 데 걸린 시간은 같다.
3. 연직 투상 운동의 대칭성
최고점 높이까지 상승하는 운동(속도가 v0->0이 되는 운동)와 최고점에서 처음 위치까지 낙하하는 운동(속도가 0 -> v0가 되는 운동)는 대칭적이다.
최고점 높이(H)에 도달하는 시간(t1)과 최고점에서 낙하하여 처음 출발 위치에 도달하는 시간은 같다. 또 최고점에서 낙하 운동은 자유 낙하 운동이다.
임의의 높이에서 상승 속도와 낙하 속도는 크기가 같고 반대 방향이다.
어느 높이까지 올라가는 시간과 그 높이에서 처음 위치로 낙하하는 시간은 같다.
2015년 11월 7일 토요일
등가속도 운동
가속도
우리 주변에서 보는 물체의 운동은 속력과 방향이 일정한 운동(등속도 운동)보다는 대부분 속력과 방향이 변하는 운동이다. 예를 들어 자동차로 한 장소에서 다른 장소로 이동할 때 모든 구간에서 등속도로 달릴 수는 없다. 가속 페달을 밟을 때에는 자동차의 속도가 증가하고, 브레이크 페달을 밟을 때에는 자동차의 속도가 감소한다. 또 굽은 도로에서 방향을 바꿀 때에도 속도는 변한다. 이와 같이 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때 그 물체는 가속도 운동을 한다고 한다.
(1) 가속도
단위 시간동안 속도의 변화량을 가속도라고 한다. 물체가 직선상에서 운동할 때 처음 속도를 V0, 시간 t 후의 나중 속도를 v라고 하면 가속도 a는 다음과 같다.
가속도 = 속도 변화량/걸린 시간 = 나중 속도 - 처음 속도/걸린 시간
a=V-V0/t 나중 속도 V=V0+at
1. 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터양이며, 방향은 속도 변화량의 방향과 같다.
2. (+) 가속도일 때 물체의 속력은 증가하고, (-) 가속도일때 속력은 감소한다.
3. 곡선 운동은 시시각각 운동 방향이 달라지므로 항상 속도가 변하며 가속도 운동을 한다. 이때 가속도의 정의는 직선 운동에서와 같다.
(2) 속도 변화량
물체의 속도가 시간에 따라 변하는 경우 물체의 운동은 가속도 운동이다. 시간 t 동안에 속도가 V1에서 V2로 변하였다면 시간 t 동안의 속도 변화량 Δv는 나중 속도(V2)에서 처음 속도(V1)를 뺀 값이다.
ΔV = V2 - V1
속도는 벡터양이므로 ΔV = V2 - V1의 계산은 벡터적으로 한다. 평면의 경우 평행사변형법으로 하고, 직선 운동의 경우 V1 방향을 (+)로 하여 V2의 부호를 정한다.
평균 가속도와 순간 가속도
직선 운동하는 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때 속도 - 시간 그래프가 오른쪽과 같다면
(1) 평균 가속도
시각 t1에서의 속도가 V1이고, 시각 t2에서의 속도가 V2로 되었다면 시간 Δt 동안 속도 변화량은 ΔV이므로 이 시간 동안에 평균 가속도 a평은
a평 = ΔV/Δt = (V2 - V1) / (t2 - t1) = BC / AC
이고, 이것은 속도 - 시간 그래프에서 직선 AB의 기울기와 같다. 이와 같이 어느 일정한 시간 동안 변한 속도를 걸린 시간으로 나눈 것을 평균 가속도라고 한다.
(2) 순간 가속도
시간 Δt를 매우 짧게 하면 그 동안의 속도 변화량도 매우 작아진다. 이때의 가속도 a는
a = ΔV/Δt = CD/AC
이고, 이것은 시각 t1에서의 순간 가속도이다.
시각 t1에서 순간 가속도는 A점에서 접선의 기울기와 같다.
공간상에서의 가속도 운동
평면이나 공산상에서 곡선 운동하는 물체는 운동 방향이 시시각각으로 변하므로 속도가 변하는 가속도 운동을 한다.
곡선 운동에서의 가속도는 직선 운동에서의 정의와 같이 단위 시간에 따른 속도 변화량으로 구한다.
(1) 곡선 운동에서의 속도 변화량
물체가 지점 P에서 Q까지 운동하였을 때 속도 변화량 ΔV는 속도 벡터 V1, V2의 출발점을 임의의 점 O에 평행 이동시켜 그리면, 처음 속도 V1의 화살 머리에서 나중 속도 V2의 화살 머리로 그은 선분과 방향이 된다.
속도 변화량 = 나중 속도 - 처음 속도
ΔV = V2-V1(벡터 계산)
(2) 곡선 운동에서의 가속도
시각 t1일때 순간 속도가 V1인 물체가 가속도 운동을 하여 시각 t2일 때 순간 속도가 V2로 되었다면 이 물체의 가속도 a는
a=(V2-V1) / (t2-t1) = ΔV / Δt
이며, 방향은 ΔV와 같다.
호도 그래프
그림에서 화살 앞머리 Q의 변위 Q0Q1은 처음 운동의 속도 변화 ΔV를 의미한다. 이와 같이 곡선 경로 위의 각 점 P0, P1, P2... 에서의 속도 벡터 V0, V1, V2...의 출발점을 어떤 점 O에 평행 이동시켰을 때 벡터의 앞머리 끝을 연결한 선 Q0Q1, Q1Q2, Q2Q3 ...를 이 운동의 호도 그래프 또는 속도 그림이라고 한다.
등가속도 직선 운동
직선상에서 일정한 가속도 a로 움직이는 물체의 운동을 등가속도 직선 운동이라고 한다.
등가속도 직선 운동은 물체의 가속도가 일정하므로 속도는 일정하게 증가하거나 감소하며, 평균 가속도와 순간 가속도는 같다.
(1) 등가속도 직선 운동의 공식
처음 속도를 V0, 나중 속도를 v, 가속도를 a, 시간을 t라고 하면
1. 속도와 시간의 관계 : 처음 속도(초속도)가 V0인 어떤 물체가 일정한 가속도 a로 직선 운동을 하면 t초 후에는 물체의 속도가 at만큼 변한다. 따라서 t초 후의 속도 v는 처음 속도 V0에 변화된 속도 at를 합한 것이 된다. 이것은 가속도의 정의에서도 구할 수 있다.
a = V-V0/t V=V0 + at
2. 변위와 시간의 관계 : 어떤 시각에서 Δt 동안 속도가 v'으로 일정하다면 그래프 (가)에서 진한 부분의 직사각형 넓이에 해당하는 v'Δt는 Δt 동안에 물체가 이동한 거리, 즉 변위를 나타낸다.
따라서 시간 t 동안 변위 s는 작은 직사각형들의 넓이들을 모두 합한 것이 되며, 이것은 그래프 (나)와 같이 v-t 그래프의 직선 아래 넓이, 즉 사다리꼴의 넓이가 된다.
s = 1/2(V0+V)t = 1/2(V0 + V0 + at)t s=V0t + 1/2at^2
3. 변위가 속도의 관계 : 변위 식에 t=V-V0/a 를 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
2as = v^2 - V0^2
(2) 등가속도 운동의 그래프
1. 가속도가 (+)일 때 등가속도 직선 운동의 그래프 : 힘의 방향과 물체의 운동 방향이 같은 경우로 속력이 점점 증가한다.
2. 가속도가 (-)일 때 등가속도 직선 운동의 그래프 : 힘의 방향과 물체의 운동 방향이 반대일 경우로 속도가 감소하다가 결국 정지한다. 정지해서도 힘이 계속 작용하면 물체가 처음과 반대 방향으로 진행한다.
우리 주변에서 보는 물체의 운동은 속력과 방향이 일정한 운동(등속도 운동)보다는 대부분 속력과 방향이 변하는 운동이다. 예를 들어 자동차로 한 장소에서 다른 장소로 이동할 때 모든 구간에서 등속도로 달릴 수는 없다. 가속 페달을 밟을 때에는 자동차의 속도가 증가하고, 브레이크 페달을 밟을 때에는 자동차의 속도가 감소한다. 또 굽은 도로에서 방향을 바꿀 때에도 속도는 변한다. 이와 같이 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때 그 물체는 가속도 운동을 한다고 한다.
(1) 가속도
단위 시간동안 속도의 변화량을 가속도라고 한다. 물체가 직선상에서 운동할 때 처음 속도를 V0, 시간 t 후의 나중 속도를 v라고 하면 가속도 a는 다음과 같다.
가속도 = 속도 변화량/걸린 시간 = 나중 속도 - 처음 속도/걸린 시간
a=V-V0/t 나중 속도 V=V0+at
1. 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터양이며, 방향은 속도 변화량의 방향과 같다.
2. (+) 가속도일 때 물체의 속력은 증가하고, (-) 가속도일때 속력은 감소한다.
3. 곡선 운동은 시시각각 운동 방향이 달라지므로 항상 속도가 변하며 가속도 운동을 한다. 이때 가속도의 정의는 직선 운동에서와 같다.
(2) 속도 변화량
물체의 속도가 시간에 따라 변하는 경우 물체의 운동은 가속도 운동이다. 시간 t 동안에 속도가 V1에서 V2로 변하였다면 시간 t 동안의 속도 변화량 Δv는 나중 속도(V2)에서 처음 속도(V1)를 뺀 값이다.
ΔV = V2 - V1
속도는 벡터양이므로 ΔV = V2 - V1의 계산은 벡터적으로 한다. 평면의 경우 평행사변형법으로 하고, 직선 운동의 경우 V1 방향을 (+)로 하여 V2의 부호를 정한다.
평균 가속도와 순간 가속도
직선 운동하는 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때 속도 - 시간 그래프가 오른쪽과 같다면
(1) 평균 가속도
시각 t1에서의 속도가 V1이고, 시각 t2에서의 속도가 V2로 되었다면 시간 Δt 동안 속도 변화량은 ΔV이므로 이 시간 동안에 평균 가속도 a평은
a평 = ΔV/Δt = (V2 - V1) / (t2 - t1) = BC / AC
이고, 이것은 속도 - 시간 그래프에서 직선 AB의 기울기와 같다. 이와 같이 어느 일정한 시간 동안 변한 속도를 걸린 시간으로 나눈 것을 평균 가속도라고 한다.
(2) 순간 가속도
시간 Δt를 매우 짧게 하면 그 동안의 속도 변화량도 매우 작아진다. 이때의 가속도 a는
a = ΔV/Δt = CD/AC
이고, 이것은 시각 t1에서의 순간 가속도이다.
시각 t1에서 순간 가속도는 A점에서 접선의 기울기와 같다.
공간상에서의 가속도 운동
평면이나 공산상에서 곡선 운동하는 물체는 운동 방향이 시시각각으로 변하므로 속도가 변하는 가속도 운동을 한다.
곡선 운동에서의 가속도는 직선 운동에서의 정의와 같이 단위 시간에 따른 속도 변화량으로 구한다.
(1) 곡선 운동에서의 속도 변화량
물체가 지점 P에서 Q까지 운동하였을 때 속도 변화량 ΔV는 속도 벡터 V1, V2의 출발점을 임의의 점 O에 평행 이동시켜 그리면, 처음 속도 V1의 화살 머리에서 나중 속도 V2의 화살 머리로 그은 선분과 방향이 된다.
속도 변화량 = 나중 속도 - 처음 속도
ΔV = V2-V1(벡터 계산)
(2) 곡선 운동에서의 가속도
시각 t1일때 순간 속도가 V1인 물체가 가속도 운동을 하여 시각 t2일 때 순간 속도가 V2로 되었다면 이 물체의 가속도 a는
a=(V2-V1) / (t2-t1) = ΔV / Δt
이며, 방향은 ΔV와 같다.
호도 그래프
그림에서 화살 앞머리 Q의 변위 Q0Q1은 처음 운동의 속도 변화 ΔV를 의미한다. 이와 같이 곡선 경로 위의 각 점 P0, P1, P2... 에서의 속도 벡터 V0, V1, V2...의 출발점을 어떤 점 O에 평행 이동시켰을 때 벡터의 앞머리 끝을 연결한 선 Q0Q1, Q1Q2, Q2Q3 ...를 이 운동의 호도 그래프 또는 속도 그림이라고 한다.
등가속도 직선 운동
직선상에서 일정한 가속도 a로 움직이는 물체의 운동을 등가속도 직선 운동이라고 한다.
등가속도 직선 운동은 물체의 가속도가 일정하므로 속도는 일정하게 증가하거나 감소하며, 평균 가속도와 순간 가속도는 같다.
(1) 등가속도 직선 운동의 공식
처음 속도를 V0, 나중 속도를 v, 가속도를 a, 시간을 t라고 하면
1. 속도와 시간의 관계 : 처음 속도(초속도)가 V0인 어떤 물체가 일정한 가속도 a로 직선 운동을 하면 t초 후에는 물체의 속도가 at만큼 변한다. 따라서 t초 후의 속도 v는 처음 속도 V0에 변화된 속도 at를 합한 것이 된다. 이것은 가속도의 정의에서도 구할 수 있다.
a = V-V0/t V=V0 + at
2. 변위와 시간의 관계 : 어떤 시각에서 Δt 동안 속도가 v'으로 일정하다면 그래프 (가)에서 진한 부분의 직사각형 넓이에 해당하는 v'Δt는 Δt 동안에 물체가 이동한 거리, 즉 변위를 나타낸다.
따라서 시간 t 동안 변위 s는 작은 직사각형들의 넓이들을 모두 합한 것이 되며, 이것은 그래프 (나)와 같이 v-t 그래프의 직선 아래 넓이, 즉 사다리꼴의 넓이가 된다.
s = 1/2(V0+V)t = 1/2(V0 + V0 + at)t s=V0t + 1/2at^2
3. 변위가 속도의 관계 : 변위 식에 t=V-V0/a 를 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
2as = v^2 - V0^2
(2) 등가속도 운동의 그래프
1. 가속도가 (+)일 때 등가속도 직선 운동의 그래프 : 힘의 방향과 물체의 운동 방향이 같은 경우로 속력이 점점 증가한다.
2. 가속도가 (-)일 때 등가속도 직선 운동의 그래프 : 힘의 방향과 물체의 운동 방향이 반대일 경우로 속도가 감소하다가 결국 정지한다. 정지해서도 힘이 계속 작용하면 물체가 처음과 반대 방향으로 진행한다.
변위와 속도
백터와 스칼라
모든 물리량은 백터양과 스칼라양으로 구분된다.
(1) 백터양
변위, 속도, 가속도, 힘, 운동량, 충격량, 전기장, 자기장, 토크, 각운동량과 같이 크기와 방향을 갖는 물리량이다. 예를 들어 어떤 물체에 10N의 힘을 가했다고 하면 이것만으로 그 물체의 운동 상태를 알 수 없다. 왜냐 하면 힘을 가하는 방향이 수평, 또는 연직 위, 아래 방향이냐에 따라 그 힘의 효과가 다르기 때문이다. 따라서 힘은 힘의 크기 외에 방향도 알아야 한다.
(2) 스칼라양
시간, 이동 거리, 길이, 질량, 속도, 온도, 일, 에너지 등과 같이 크기만을 갖는 물리량으로 수학의 사칙연산 (+, -, *, /) 으로 계산이 된다.
예를 들어 어떤 물체의 온도가 -5도라고 하면 이것만으로 그 물체의 온도는 완전히 결정된다. 여기서 남쪽 방향과 같은 공간에서의 방향은 필요없다. -5도의 (-)는 기준으로 정한 0도보다 5도가 낮다는 것이다.
벡터의 성질
(1) 두 벡터의 동등성
1. 두 벡터 A, B의 크기와 방향이 같을 때 두 벡터는 같다고 하고, A=B로 나타낸다.
2. 벡터의 평행 이동과 (-) 백터 : 오른쪽 그림과 같이 벡터를 평행 이동시켜도 크기와 방향이 변하지 않으므로 같은 벡터이다. 벡터 A와 크기가 같고 방향이 정반대인 벡터를 A의 (-)벡터라 하고, -A로 표시한다.
3. 벡터의 상수배 : 벡터 A를 n배한 벡터 nA는
n>0일 경우, 벡터 A와 같은 방향이고 크기는 n배이다.
n<0일 경우, 벡터 A와 반대 방향이고, 크기는 |n|배이다.
(2) 벡터의 덧셈
두 개의 벡터 A, B가 있을 때 이 두 벡터를 합한 벡터 C = A + B를 구하는 것을 벡터의 합성이라고 하며, 이렇게 구한 벡터 C를 합벡터라고 한다.
벡터를 더하는 방법으로는 기하학적 방법과 대수적인 방법이 있다.
두 벡터 A와 B의 덧셈에서 더하는 순서는 관계가 없다.
A+B = B+A
두 개 이상의 벡터를 더할 때 그들을 어떻게 묶어도 관계가 없다.
(A+B)+C = A+(B+C)
벡터의 덧셈에서는 분해 법칙이 성립한다.
n(A+B) = nA+nB
평행사변형법 : 두 벡터 A, B를 더할 때 오른쪽 그림
모든 물리량은 백터양과 스칼라양으로 구분된다.
(1) 백터양
변위, 속도, 가속도, 힘, 운동량, 충격량, 전기장, 자기장, 토크, 각운동량과 같이 크기와 방향을 갖는 물리량이다. 예를 들어 어떤 물체에 10N의 힘을 가했다고 하면 이것만으로 그 물체의 운동 상태를 알 수 없다. 왜냐 하면 힘을 가하는 방향이 수평, 또는 연직 위, 아래 방향이냐에 따라 그 힘의 효과가 다르기 때문이다. 따라서 힘은 힘의 크기 외에 방향도 알아야 한다.
(2) 스칼라양
시간, 이동 거리, 길이, 질량, 속도, 온도, 일, 에너지 등과 같이 크기만을 갖는 물리량으로 수학의 사칙연산 (+, -, *, /) 으로 계산이 된다.
예를 들어 어떤 물체의 온도가 -5도라고 하면 이것만으로 그 물체의 온도는 완전히 결정된다. 여기서 남쪽 방향과 같은 공간에서의 방향은 필요없다. -5도의 (-)는 기준으로 정한 0도보다 5도가 낮다는 것이다.
벡터의 성질
(1) 두 벡터의 동등성
1. 두 벡터 A, B의 크기와 방향이 같을 때 두 벡터는 같다고 하고, A=B로 나타낸다.
2. 벡터의 평행 이동과 (-) 백터 : 오른쪽 그림과 같이 벡터를 평행 이동시켜도 크기와 방향이 변하지 않으므로 같은 벡터이다. 벡터 A와 크기가 같고 방향이 정반대인 벡터를 A의 (-)벡터라 하고, -A로 표시한다.
3. 벡터의 상수배 : 벡터 A를 n배한 벡터 nA는
n>0일 경우, 벡터 A와 같은 방향이고 크기는 n배이다.
n<0일 경우, 벡터 A와 반대 방향이고, 크기는 |n|배이다.
(2) 벡터의 덧셈
두 개의 벡터 A, B가 있을 때 이 두 벡터를 합한 벡터 C = A + B를 구하는 것을 벡터의 합성이라고 하며, 이렇게 구한 벡터 C를 합벡터라고 한다.
벡터를 더하는 방법으로는 기하학적 방법과 대수적인 방법이 있다.
두 벡터 A와 B의 덧셈에서 더하는 순서는 관계가 없다.
A+B = B+A
두 개 이상의 벡터를 더할 때 그들을 어떻게 묶어도 관계가 없다.
(A+B)+C = A+(B+C)
벡터의 덧셈에서는 분해 법칙이 성립한다.
n(A+B) = nA+nB
평행사변형법 : 두 벡터 A, B를 더할 때 오른쪽 그림
과 같이 두 벡터 A, B의 출발점을 일치시키고, A, B를 이웃한 두 변으로 하는 평행사변형을 그리면 평형사변형의 대각선이 합벡터 C가 된다.
C = A+B = B+A
합벡터 C의 크기는 대각선의 길이이고, 방향은 대각선의 방향이 된다. 이와 같은 벡터의 합성 방법을 평행사변형법이라고 한다. 이때 두 벡터 A와 B가 이루는 각이 θ일때 합벡터의 크기 C는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
|C| = sqrt(A^2 + B^2 + 2ABcosθ)
2. 삼각형법
벡터 A의 머리에 벡터 B의 꼬리가 오도록 B를 평행 이동시킨 후, A의 꼬리에서 B의 머리까지 화살표로 그은 벡터 C가 A와 B의 합벡터가 된다. 이와 같은 벡터의 합성 방법을 삼각형법이라고 한다.
대수적인 방법 : 네 벡터 A, B, C, D를 합성하는 대수적인 방법은 각 벡터를 x, y 직교 좌표로 분해하여 성분 벡터를 이용하는 것이다. 합벡터를 R라고 하면
R = A+B+C+D 이다.
이때 각 벡터의 직각 성분을 (Rx, Ry), (Ax, Ay), (Bx, By), ..., 또 각 벡터가 x축과 이루는 각을 θr, θa, θb 라고 하면
Rcosθr= Acosθa + Bcosθb + Ccosθc + Dcosθd
Rx = Ax + Bx + Cx + Dx
Rsinθr = Asinθa + Bsinθb + Csinθc + Dsinθd
Ry = Ay + By + Cy + Dy
이다. 따라서 합벡터 R의 크기는
R = sqrt(Rx^2 + Ry^2) = sqrt((Ax+Bx+Cx+Dx)^2 + (Ay+By+Cy+Dy)^2)
이고, 합벡터 R의 방향은 tanθr = Ry / Rx = Ay+By+Cy+Dy / Ax+Bx+Cx+Dx 이다.
이 경우에 각 성분의 (+), (-) 부호를 고려하여 합해야 한다.
(3) 벡터의 뺄셈
벡터 A에서 B를 뺄 때에는 그림과 같이 벡터 B와 길이가 같고 방향이 정반대인 -B를 그린 다음, A와 (-B)를 삼각형법으로 합성하면 된다.
벡터 A와 B의 차 A-B는 A와 -B의 합인 A+(-B)와 같으므로 다음과 같이 표시한다.
C=A-B=A+(-B)
이때 벡터 C는 벡터 B의 머리에서 A의 머리로 그은 직선이 된다.
(4) 벡터의 분해
벡터를 합성하는 경우와는 반대로 한 개의 벡터 A와 같은 효과를 내는 두 개 이상의 벡터를 구하는 것을 벡터의 분해라고 하며, 이 벡터를 성분 벡터라고 한다.
벡터를 분해하는 방법은 벡터를 합성할 때와 반대 과정이다.
1. 평행사변형법을 이용한 벡터의 분해 : 벡터 A를 분해할 때 주어진 벡터 A를 대각선으로 하는 평행사변형을 그리면 이웃한 두 변이 분해된 성분 벡터가 된다. 분해하는 방향은 임의로 정할 수 있다. 따라서 무수히 구할 수 있다.
2. 직교 좌표계에서 벡터의 분해 : 일반적으로 한 벡터 A를 분해하는 경우 서로 직각인 두 방향(x 방향과 y 방향)으로 분해한다. 이때 분해하여 얻은 두 벡터 Ax, Ay를 처음 벡터 A의 x 성분 벡터, y 성분 벡터라고 한다.
벡터 A가 x축과 이루는 각을 θ라고 하면 다음의 관계가 성립된다.
성분 벡터의 크기 : Ax = Acosθ, Ay = Asinθ
벡터합 : A = Ax + Ay
크기 : A = sqrt(Ax^2 + Ay^2)
방향 : tanθ = A^y/A^x
3. 같은 크기의 두 성분 벡터로 분해 : 한 벡터 F를 같은 크기의 두 성분 벡터로 분해하는 경우 두 성분 벡터로 그린 평행사변형은 마름모꼴이 된다. 이때 두 대각선은 서로 수직 이등분하므로 성분 벡터의 크기가 f이면 벡터 F의 크기는
F=2fcosθ/2 또는 F=sqrt(f^2 + f^2 + 2f^2cosθ) 가 된다.
위치 벡터와 변위
위치 벡터
기준점에 대한 물체의 위치를 나타내는 벡터를 위치 벡터라고 한다. 위치 벡터는 어떤 기준점(또는 좌표의 원점)에서 물체의 위치까지 그은 직선으로 나타낸다. 그림에서 벡터 r1과 r2는 점 P와 Q의 위치 벡터를 나타낸다.
변위는 물체의 위치 변화를 나타내는 벡터로, 나중 위치 벡터와 처음 위치 벡터의 차로 나타낸다.
변위는 이동 경로에 관계없이 운동의 출발점에서 운동의 끝점을 연결한 직선의 크기와 그 방향이다.
위치 벡터는 기준점에 따라 변하지만 변위는 기준점의 위치가 바뀌어도 변하지 않는다.
속도
두 물체가 같은 위치를 같은 속력으로 동시에 통과하여도 운동 방향이 다르면 도착점이 달라지므로 운동의 결과는 다르게 된다. 따라서 물체의 운동 상태를 나타낼 때에는 속력만으로는 충분하지 않고 방향도 함께 나타내야 한다. 이와 같이 물체의 속력과 방향을 함께 나타내는 양을 속도라고 한다.
곡선 운동에서 속력, 속도의 정의는 직선 운동에서의 속력, 속도의 정의와 같다.
(1)속도
물체가 운동할 때 단위 시간 동안에 일어난 변위를 속도라고 한다. 오른쪽 그림과 같이 시간 Δt 동안에 물체가 곡선 경로를 따라 P1점에서 P2점으로 운동하였다면 물체의 변위는 Δr(=r2-r1)가 된다. 따라서 속도 v(평균 속도 v평)는
속도 = 변위 / 걸린 시간, v=Δr/Δt(m/s)
이다.
1. 직선 운동의 경우, 한쪽 방향의 속도를 (+)를 표시하면 정반대 방향의 속도는 (-)로 나타낸다.
2. 곡선 운동의 경우, 어떤 위치에서 속도(순간 속도)의 방향은 그 위치에서 경로의 접선 방향이다.
(2) 평균 속도와 순간 속도
1. 평균 속도 : 오른쪽 그림과 같은 곡선을 따라 운동하는 물체가 시간 Δt(=t2-t1) 동안 P점에서 Q점까지 운동하였다면 이 동안의 변위는 Δr(=r2-r1)이므로
v평=Δr/Δt = r2-r1/Δt(m/s)
가 된다. 이때 평균 속도의 방향은 변위 Δr의 방향이다.
2. 순간 속도 : 시간 Δt(=t2-t1)를 점점 짧게 하면 Q점은 P점에 점점 가까워지고 변위 Δr의 방향은 P점에서의 접선 방향이 된다. 매우 짧은 시간 Δt 동안의 변위는 매우 짧은 Δr이므로 근사적으로 직선 운동이라 할 수 있다. 이러한 극한에서의 속도를 P점에서의 순간 속도라고 한다. 따라서 P점에서의 순간 속도 v(또는 단순히 속도라고도 한다)는 다음과 같다.
v=Δr/Δt(m/s) (Δt : 매우 짧은 시간)
어떤 위치에서 물체의 속도라는 것은 순간 속도를 의미한다.
순간 속도가 계속 일정한 물체의 운동을 등속 직선 운동(등속도 운동)이라고 하며, 이때 평균 속도와 순간 속도는 같다.
시간 Δt를 충분히 작게 하면 그 동안의 변위 Δr도 극한적으로 작아진다. 이때의 Δr/Δt를 점 P(시각 t1)에서의 순간 속도라고 한다.
상대 속도
물체의 운동은 항상 어떤 좌표계를 기준으로 하여 위치, 속도 등이 기술된다. 일반적으로 물체의 속도는 지면을 기준으로 하여 표시하지만, 운동하고 있는 다른 물체를 기준으로 하여 표시할 수도 있다. 운동하고 있는 다른 물체나 좌표계를 기준으로 하여 물체의 운동을 생각한 속도, 즉 운동하고 있는 관측자가 본 물체의 속도를 관측자에 대한 물체의 상대 속도라고 한다.
물체 A(관측자)는 Va의 속도로, 물체 B는 Vb의 속도로 운동하고 있을 때 관측자 A가 본 B의 상대 속도 Vab는 다음과 같다.
상대속도/Vab = 상대방 속도/Vb - 관측자 (나)의 속도/Va
Vab - Vb - Va (벡터 뺄셈)
(1) 일직선상을 같은 방향으로 운동하는 경우의 상대 속도
자동차 A, B가 각각 일정한 속도 Va, Vb로 같은 직선 도로 위를 같은 방향으로 달리고 있다. 어떤 시각에서 자동차 A, B의 위치를 A1, B1, 그로부터 시간 Δt 후의 위치를 A2, B2라고 하면 시간 Δt동안 B는 A로부터 거리 B1B2 - A1A2만큼 떨어진 거리가 변한다.
이 거리는 B가 시간 Δt동안에 A에서 본 상대 속도로 이동해간 거리이므로 A에서 본 B의 상대 속도 Vab는 다음과 같다.
VabΔt = B1B2 - A1A2 = VbΔt - VaΔt
Vab = Vb - Va
(2) 일직선상을 반대 방향으로 운동하는 경우의 상대 속도
오른쪽 그림과 같이 자동차 A, B가 각각 일정한 속도 Va, Vb로 같은 직선 도로 위를 반대 방향으로 달리고 있다. 어떤 시각에서 자동차 A, B의 위치를 A1, B1, 그로부터 시간 Δt 후의 위치를 A2, B2라고 하면 B가 시간 Δt 동안에 A에서 본 상대속도 Vab로 A쪽으로 운동한 거리 VabΔt는 다음과 같다.
VabΔt = A1A2 + B1B2 = (-VaΔt) + VbΔt
Vab = Vb - Va
(3) 평면 운동에서의 상대 속도
Va의 속도로 달리고 있는 자동차 A 안의 관측자가 속도 Vb로 달리는 자전거를 탄 사람 B의 운동을 볼 때의 상대 속도를 생각해 보자. A에 탄 사람이 보면 지면은 -Va의 속도로 운동하고 있는 것처럼 보이므로 B의 속도 Vb에 -Va가 더해진 것처럼 느껴진다. 따라서 이 두 속도를 평행사변형법으로 합성한 속도가 상대 속도 Vab이다. Vab = Vb - Va
2015년 8월 29일 토요일
자유 에너지
1. 계의 엔트로피 변화와 주위의 엔트로피 변화의 합인 전체 엔트로피 변화가 증가해야 반응이 자발적임
⊿S전체 = ⊿S계 + ⊿S주위
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2. 주위의 엔트로피 변화는 계의 엔탈피 변화로 나타낼 수 있음
⊿S주위 = - ⊿H/T
|
3. 전체 엔트로피 변화를 계의 엔트로피 변화(⊿S계 = ⊿S)와 계의 엔탈피 변화로 나타낼 수 있음
⊿S전체 = ⊿S - ⊿H/T
|
4. 자유 에너지(G)
▶ 반응의 자발성 여부를 주위와 관계없이 계의 엔탈피(H)와 계의 엔트로피(S)로 판단하기 위해서 정의되었으며, 기호 G로 나타냄
G = H - TS
|
1. 일정한 온도에서 자유 에너지 변화(⊿G)는 다음과 같음
⊿G = ⊿H - T⊿S
(H : 계의 엔탈피, T : 절대 온도, S : 계의 엔트로피)
|
2. 자유 에너지 변화와 반응의 자발성
▶ ⊿G = - T⊿S전체이므로 ⊿G의 값으로 반응의 자발성을 예측할 수 있음 → 일정한 온도와 압력에서 자발적 과정은 자유 에너지가 감소하는 방향임
전체 엔트로피 변화
|
자유 에너지 변화
|
반응의 자발성
|
⊿S전체 > 0
|
⊿G < 0
|
자발적
|
⊿S전체 = 0
|
⊿G = 0
|
평형 상태
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⊿S전체 < 0
|
⊿G > 0
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비자발적
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▶ 그림은 기체 AB3와 A2가 반응하여 AB 기체가 생성되는 모형이다. ⊿G를 이용하여 반응의 자발성을 예측할 수 있다.
▶ 1단계
▶ 2단계
▶ 3단계
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온도와 반응의 자발성
▶ 어떤 반응에 대한 계의 엔탈피 변화(⊿H)와 계의 엔트로피 변화(⊿S)의 부호와 크기를 알면 자유 에너지 변화(⊿G)의 부호를 예측하여 반응의 자발성 여부를 판단할 수 있음
1. ⊿H<0, ⊿S>0인 반응
▶ 발열 반응이고 엔트로피가 증가하면 모든 온도에서 ⊿G<0→ 항상 자발적
⊿G=⊿H - T⊿S 예) H2O2(l) → 2H2O(l) + O2(g), ⊿H = - 196 kJ
|
2. ⊿H>0, ⊿S<0인 반응
▶ 흡열 반응이고 엔트로피가 감소하면 모든 온도에서 ⊿G>0 → 항상 비자발적
⊿G=⊿H - T⊿S 예) 3O2(g) →2O3(g), ⊿H = 286 kJ
|
3. ⊿H<0, ⊿S<0인 반응
▶ 발열 반응이고, 엔트로피가 감소하면 ⊿G는 온도에 의해 결정 → 낮은 온도에서 자발적
⊿G=⊿H - T⊿S 예) H2O(l) → H2O(s), ⊿H = - 6.03 kJ
|
4. ⊿H>0, ⊿S>0인 반응
▶ 흡열 반응이고 엔트로피가 증가하면 ⊿G는 온도에 의해 결정 → 높은 온도에서 자발적
⊿G=⊿H - T⊿S 예) 2N2O(g)+O2(g) → 4NO(g), ⊿H = 198 kJ
|
5. 온도에 따른 자유 에너지 변화와 반응의 자발성
- ⊿G = ⊿H - T⊿S에서 ⊿G = - T⊿S전체인 관계가 성립하므로 ⊿G가 (-)값이면 반응이 자발적으로 일어남
- 온도에 따른 ⊿G와 반응의 자발성 관계는 다음과 같음
⊿H
|
⊿S
|
온도에 따른 ⊿G
|
온도와 반응의 자발성
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감소(-)
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증가(+)
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모든 온도에서 감소(-)
|
모든 온도에서 자발적
|
감소(-)
|
감소(-)
|
|⊿H|>|T⊿S| (낮은 T)이면 감소(-)
|⊿H|<|T⊿S| (높은 T)이면 증가(+) |
낮은 온도에서 자발적
|
증가(+)
|
증가(+)
|
|⊿H|>|T⊿S| (낮은 T)이면 증가(+)
|⊿H|<|T⊿S| (높은 T)이면 감소(-) |
높은 온도에서 자발적
|
증가(+)
|
감소(-)
|
모든 온도에서 증가(+)
|
모든 온도에서 비자발적
|
6. 흡열 반응과 자발적 과정
산화 수은(HgO) 열분해 반응에 대한 반응의 자발성 여부를 ⊿H, ⊿S, ⊿G의 값으로 파악해 본다.
2HgO(s) → 2Hg(l) + O2(g)
→ 산화 수은이 주위로부터 열을 흡수하여 열분해되므로 흡열 반응이다. → ⊿H>0
→ 반응 후 고체인 산화 수은이 분해하여 산소 기체가 발생하므로 계의 엔트로피는 증가한다. → ⊿S>0 → ⊿G = ⊿H - T⊿S<0이면 자발적이므로 |⊿H|<|T⊿S|이면 반응이 자발적으로 진행된다.
|
1. 표준 자유 에너지 변화(⊿G°)
▶ 표준 상태(25℃, 1기압)에서 자유 에너지 변화로, 표준 엔탈피 변화(⊿H°)와 표준 엔트로피 변화(⊿S°)를 이용해서 그 값을 구할 수 있음
⊿G° = ⊿H° - T⊿S°
|
2. 표준 생성 자유 에너지(⊿Gf°)를 이용하여 화학 반응에서 표준 자유 에너지 변화(⊿G°)를 계산할 수 있음
▶ ⊿Gf°는 모든 반응물과 생성물이 표준 상태에 있을 때, 성분 원소로부터 1몰의 화합물을 생성하는 데 수반되는 자유 에너지 변화로, 다음과 같은 식을 이용하여 화학 반응의 ⊿G°를 구할 수 있음
⊿G° =Σ⊿G°f생성물 -Σ⊿G°f반응물
|
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