행성의 원운동

(1)케플러 법칙
17세기 초 독일의 천문학자 케플러는 그의 스승인 덴마크의 천문학자인 티코 브라헤가 정밀하게 관측한 행성의 운동에 관한 관측 자료를 1601년부터 1621년까지 정리 분석하여 다음과 같은 세 가지 법칙을 발견하였다.

1. 제1법칙 | 태양계 내의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 운동한다.
●실제 행성들은 거의 원에 가까운 궤도를 그린다.

2. 제2법칙 | 태양과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 우주 공간에 그리는 면적은 항상 일정하다.
①제2법칙은 행성들의 공전 속력이 태양에서 먼 곳에서는 느리고, 가까운 곳에서는 빠르다는 것을 보여 준다.
②S1과 S2의 면적이 같을 때 행성이 A 지점에서 B 지점까지 가는 데 걸리는 시간과 C 지점에서 D 지점까지 가는 데 걸리는 시간은 같다.

3. 제3법칙 | 행성의 공전 주기 T의 제곱은 타원 궤도의 긴 반지름 R의 세제곱에 비례한다.
T^2 = kR^3

①제3법칙은 태양에서 먼 행성일수록 공전 주기가 길다는 것을 알려 준다.
②제3법칙은 뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하는 데 매우 중요한 역할을 하였다.
③중심력을 받으며 운동하는 물체의 면적 속도는 각 운동량에 비례한다. 행성의 면적 속도가 일정하다는 것은 행성의 각 운동량이 보존된다는 것을 뜻한다.

(2) 만유인력 법칙
케플러 제1법칙에 의하면 행성은 타원 운동을 하지만 타원이라도 거의 원에 가깝다. 이에따라 뉴턴은 행성의 운동을 등속 원운동하는 것으로 생각하여 행성에 작용하는 힘을 다음과 같이 유도하였다.
질량 m인 행성이 반지름 R의 원둘레상을 속력 v, 주기 T인 등속 원운동을 한다면 행성은 태양 쪽으로 구심력 F를 받는다. 구심력 F의 크기는
F=mRω^2 = mR(2π/T)^2 = 4π^2mR/T^2인데, 이것은 태양이 행성을 당기는 힘으로 케플러 제3법칙 T^2 = kR^3을 대입하면
F=4π^2m/kR^2 (태양이 행성을 당기는 힘)이 된다. 이 사실로 미루어 보면 행성도 거리 R의 제곱에 반비례하고 태양의 질량 M에 비례하는 힘 F'으로 태양을 당기고 있다고 생각할 수 있다.
F'=4π^2/k' * M/R^2 (행성이 태양을 당기는 힘)
작용 반작용 법칙에 의하면 F=F'이므로 4π^2/k이 태양의 질량 M에 비례하지 않으면 안된다. 따라서 새로운 상수 G를 도입하여 4π^2/k=GM이라고 하면, 태양과 행성 사이에 작용하는 힘 F는 다음과 같다.
F=GmM/R^2
이를 통해 뉴턴은 태양과 행성 사이에 작용하는 인력이 두 천체의 질량과 거리에 의해 결정되므로, 어떤 특정한 별에 한정되는 것이 아니라 질량이 있는 모든 두 물체 사이에 작용한다고 생각했다.
따라서 두 물체들 사이에 작용하는 만유인력의 크기 F는 각 물체의 질량 m1, m2의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리 r의 제곱의 반비례함을 알 수 있다.
F=Gm1m2/r^2
이것을 만유인력 법칙 또는 뉴턴의 중력 법칙이라 하고, G는 모든 물체의 공통적인 상수로서 만유인력 상수라고 한다.

(3) 만유인력에 의한 역학적 에너지
1. 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지
물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점에서 어떤 특정한 위치로 물체를 서서히 이동시키는 동안에 외력이 한 일이다.
지표면 가까이에 있는 물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점을 지표면으로 할 때 중력장의 세기 g가 일정하므로 mgh로 나타낸다.
질량 M인 지구 중심 O에서 거리 r인 P 지점에 있는 질량 m인 물체에 작용하는 만유인력의 크기 F는
F=GMm/r^2이다. 이때 F와 크기가 같고 방향이 정반대인 외력 F'을 물체에 가하면서 무한히 먼 곳까지 천천히 이동시키면 외력 F'이 한 일 W는 F-r 관계 그래프에서 아래 부분의 넓이와 같고, 그 크기는 W=GMm/r(J)이 된다. 이것은 두 물체들 사이의 만유인력 F에 대하여강제로 이동시킬 때 퍼텐셜 에너지로 전환되므로, 무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞와 거리 r에서의 퍼텐셜 에너지 U와의 차가 된다.
U∞-U=GMm/r
무한원에서는 두 물체들 사이의 만유인력도 0이 되므로 물체의 퍼텐셜 에너지 U∞도 0이 되어 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지를 측정하는 기준 위치가 된다. 따라서 질량 M인 물체가 만드는 만유인력장으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에 놓인 질량 m인 물체의 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U는 다음과 같다.
U=U∞-GMm/r
무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞는 0이므로
U=-GMm/r 이 된다.

2. 만유인력장에서의 역학적 에너지
역학적 에너지 보존 법칙은 물체가 중력이나 탄성력을 받으면서 운동하는 경우뿐만 아니라 만유인력을 받으면서 운동하는 경우에도 성립한다.
질량 M인 물체에서 거리 r만큼 떨어진 지점에 있는 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U=-GMm/r이고, 운동 에너지 K=1/2mv^2이다. 따라서 이 물체의 역학적 에너지 E는 다음과 같다.
E=K+U=1/2mv^2-GMm/r=일정
E<0인 경우 : 물체는 중력장에 속박되어 원운동 또는 타원 궤도를 그리는 운동을 한다.
E>=0인 경우 : 물체는 중력장을 탈출한다.