충돌과 반발 계수

(1) 반발 계수
진흙 덩어리나 밀가루 반죽 등은 마룻바닥에 충돌한 후 튀어 오르지 않지만 탁구공, 골프공, 테니스공과 같은 물체는 잘 튀어 오른다. 이와 같이 두 물체가 충돌할 때에는 물체가 무엇으로 만들어져 있는가에 따라 충돌 후 튕겨 나가는 모습이 다르다.
두 물체가 일직선상에서 속도 v1, v2로 운동하다가 충돌 후 같은 방향으로 v1', v2'로 되었을 때, 충돌 후 서로 멀어지는 속도 v2' - v1'과 충돌 전 서로 가까워지는 속도(충돌 전의 상대 속도) v1-v2의 비를 반발 계수라고 한다.
반발 계수(e)의 값 : 0<=e<=1
충돌하는 물체들의 반발하는 정도를 나타내는 반발 계수 e는 충돌 전의 상대 속도나 물체의 질량에는 관계없고, 두 물체를 구성하는 물질에 따라 결정된다. 충돌하는 물체가 화약 등에 의해 폭발하는 경우에는 폭발에 의해 화학 에너지가 물체의 운동 에너지로 변하게 되어 e>1인 경우가 된다.

(2) 충돌의 종류
물체가 충돌할 때 반발 계수 값에 관계없이 운동량 보존 법칙이 성립하며, 반발 계수 값에 따라 다음의 세 종류의 충돌로 구분된다.

1. 완전 탄성 충돌(탄성 충돌)
e=1일 때의 충돌로, 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다.
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2=1/2m1v1'^2+1/2m2v2'^2
기체 분자나 당구공 사이의 충돌은 근사적으로 탄성 충돌이며, 질량이 같을 때 충돌 전후의 속도가 서로 교환된다.
2. 비탄성 충돌
0<e<1일 때의 충돌로, 보통의 충돌은 이 경우에 속한다.
이때 멀어지는 속력(v2'-v1')은 가까워지는 속력(v1-v2)보다 작고, 운동 에너지의 일부는 열에너지 등으로 전환된다.
3. 완전 비탄성 충돌
e=0일 때의 충돌로, 충돌 후 두 물체가 완전히 합쳐진다. 이러한 충돌을 하는 물체를 완전 비탄성체라고 하며, 진흙이 이에 속한다.

(3) 일직선상의 충돌
일직선상에서 같은 방향으로 운동하는 질량 m1, m2인 두 공이 각각 v1, v2의 속도로 충돌하여 충돌 후의 속도가 각각 v1', v2'로 변하였다고 하면 운동량 보존 법칙과 반발 계수 식을 이용하여 충돌 후의 속도를 구할 수 있다.
운동량 보존 식 : m1v1' + m2v2' = m1v1 + m2v2
반발 계수 식 : v2'-v1' = e(v1-v2)
우의 두 식을 연립 방정식으로 푼 결과는 다음과 같다.
v1' = v1 - m2(1+e)/m1+m2(v1-v2)
v2' = v2 + m1(1+e)/m1+m2(v1-v2)

1. 질량이 같은 두 물체가 완전 탄성 충돌을 할 때
m1=m2=m, e=1이므로 위의 식에 대입하여 풀면 v1'=v2, v2'=v1이 된다. 즉, 같은 질량의 두 물체가 완전 탄성 충돌하면 서로 속도를 교환한다.

2. 두 물체가 완전 비탄성 충돌을 할 때
두 물체가 완전 비탄성 충돌을 할 때에는 반발 계수 e=0이므로 운동량 보존 법칙만으로 충돌 후의 속도를 구할 수 있다.
충돌 후의 속도를 v'이라고 하면 운동량 보존 법칙에서 다음과 같이 된다.
m1v1 + m2v2 = (m1+m2)v'
v'=m1v1+m2v2/m1+m2

3. 매끄러운 면에 비스듬히 충돌할 때
공이 매끄러운 벽 또는 마룻바닥에 비스듬히 충돌할 때 공은 면에 평행한 방향으로는 힘을 받지 않고 수직한 방향으로만 충격량을 받는다.
충돌 전후의 공의 속도를 각각 v, v', 면에 평행한 속도 성분을 각각 vy, vy', 면에 수직한 속도 성분을 각각 vx,vx'이라고 하면 수직한 성분만이 변하므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
면에 평행한 속도 성분 : vy=vy'
면에 수직한 속도 성분 : |vx'|=e|vx|
완전 탄성 충돌(e=1)의 경우에는 |vx'|=|vx|로 되어 v=v'가 성립하고, Θ=Θ'(입사각 = 반사각)가 된다.

4. 공이 마룻바닥과 충돌하여 튀어 오르는 경우
높이 h에서 자유 낙하한 공이 마룻바닥에 충돌한 후 h'까지 튀어 올랐다면 충돌 전의 속도 v=-sqrt(2gh)=-gt, 충돌 후 속도 v'=sqrt(2gh')=gt'이므로 반발 계수 e는 다음과 같다.
e=-v'/v = sqrt(2gh')/sqrt(2gh) = sqrt(h'/h) = t'/t
이때 튀어 오르는 높이 h'과 h'까지 올라가는 데 걸리는 시간 t'은 각각
h' = e^h, t'=et가 된다. 따라서 높이 h에서 자유 낙하시켜 공이 정지할 때까지 운동한 총 거리 s는
s=h+2e^2h+2e^4h+...=h+2h(e^2+e^4+...)
s=h+2he^2/(1-e)=(1+e)t/(1-e)
또한 완전 탄성 충돌(e=1)에서는 h'=h로 에너지 손실없이 같은 높이까지 반발된다.

(4) 운동량과 운동 에너지
질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 운동량 p = mv, 운동 에너지 K = 1/2mv^2이므로 운동 에너지는 다음과 같이 표시된다.
K=1/2mv^2 = p^2/2m
1. 분열과 운동 에너지
정지하고 있던 질량 M인 물체가 폭발에 의해 질량 m1, 속도 v1인 물체와 질량 m2, 속도 v2인 물체로 분열된다면 운동량 보존 법칙에 의해
m1v1-m2v2=0 v1/v2=m2/m1이 된다.
따라서 폭발에 의해 발생된 에너지가 E, 폭발 후 각 물체의 운동 에너지를 K1, K2라고 하면 운동 에너지 비는
K1/K2=(m1v2^2/2)/(m2v2^2/2) = v1/v2 = m2/m1이다.
따라서 E=K1 + K2이므로 K2 = m1K1/m2를 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
E=K1 + m1K1/m2 = (1+m1/m2)K1
K1 = m2E/m1+m2
K2 = m1E/m1+m2

2. 충돌과 운동 에너지
물체의 충돌 현상에서 운동량 보존 법칙은 항상 성립하지만, 탄성 충돌(e=1) 이외의 경우에는 운동 에너지 일부가 열로 변하기 때문에 역학적 에너지가 보존되지 않는다.
직선 위를 같은 방향으로 운동하는 질량 m1, m2, 속도 v1, v2인 두 공이 충돌 후 각각 v1', v2'의 속도가 되었을 때 반발 계수를 e라고 하면 운동량 보존 법칙과 반발 계수 식에서 v1'과 v2'은 각각 다음과 같다.
v1'=v1-(m2(1+e))(v1-v2)/m1+m2
v2'=v2+(m1(1+e))(v1-v2)/m1+m2
충돌 전후의 운동 에너지의 합을 각각 K, K'이라고 하면
K=1/2(m1v1^2 + m2v2^2)
K'=1/2(m1v1'^2 + m2v2'^2)
이므로, 이 식에 v1', v2' 값을 대입하여 정리하면 충돌 전후의 운동에너지 차는 다음과 같다.
K-K'=1/2(1-e^2)*m1m2(v1-v2)^2/m1+m2