평면상 충돌

평면상 충돌과 운동량 보존
매끄러운 수평면 위를 운동하고 있는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A가 정지하고 있는 질량 m2인 물체 B에 비스듬히 충돌하여 속도가 A는 v1', B는 v2'로 되었다고 하자. 이때 충격량 - 운동량 정리에서
A:FΔt=m1v1'-m1v1
B:-FΔt=m2v2'-m2v2 (m2v2=0)
m1v1+m2v2 = m1v1'+m2v2'
이며, 이 식은 평면상에서의 충돌에서도 충돌 전후에 운동량이 보존된다는 것을 보여 준다.
(1) 평면 또는 공간상에서의 운동량을 벡터적으로 구할 때 평행사변형법으로 구할 수 있다.
(2) 운동량을 직교하는 x, y 방향으로 분해할 때 각 방향으로의 운동량 보존 관계가 성립한다.
x방향 운동량 보존 : m1v1+0=m1v1'cosa + m2v2'cosB
y방향 운동량 보존 : 0=m1v1'sina-m2v2'sinB
(3)포탄이 떨어지다가 폭발하여 두 조각이 나는 경우에 포탄 조각의 운동량의 벡터합은 원래 포탄의 운동량과 같다.
불꽃놀이에서 최고점에 도달한 폭죽은 순간적으로 정지 상태에 있게 된다. 폭발에 의해 흩어지는 불꽃의 파편들이 내부에서 상호 작용하지만, 폭발 전과 후에 운동량은 보존된다.

질량 중심의 운동량
직선 운동하는 물체의 각 점은 같은 시간에 같은 변위를 운동하므로 병진 운동에서는 물체의 크기를 무시하고 질점으로 생각하여 운동을 다루었다. 그러나 물체가 회전하면서 이동해가는 물체의 운동을 관찰해보면 물체는 어떤 고정점 주위를 회전하면서 이동해간다. 이 고정점을 그 물체의 질량 중심이라고 한다. 즉, 질량 중심은 물체 또는 물체계의 전체 질량이 그 점에 모여 있다고 생각되는 점이다.
일반적인 물체의 운동은 질량 중심의 운동과 그 주위의 회전 운동이 겹쳐진 운동으로 나타난다.
(1) 물체계의 질량 중심의 운동
두 물체를 한 물체계로 생각할 때 물체계의 질량 중심은 두 물체 사이의 거리를 질량에 반비례하여 내분하는 점이 된다. 질점계에서 임의의 원점 O에 대한 m1, m2, 질량 중심의 좌표를 x1, x2, x라고 하면
x=m1x1 + m2x2 / m1 + m2 가 된다.
m1 + m2 = M 이라고 하면 Mx= m1x1 + m2x2가 된다.
두 질점이 시간 Δt 동안 각각 변위 Δx1, Δx2만큼 운동하고 질량 중심이 변위 Δx만큼 운동하였다면 질량 중심의 운동량은 다음과 같이 표현된다.
MΔx/Δt = m1Δx1/Δt + m2Δx2/Δt, 즉 MV=m1v1 + m2v2
질량 중심의 운동량은 물체계 전체의 질량과 질량 중심의 속도를 곱한 값이고, 이것은 물체 각각의 운동량 총합과 같다. 이때 외력이 작용하지 않는다면 상호 작용 전후에도 운동량은 일정하게 보존된다.
질량 중심의 운동량 = 물체들의 운동량 총합
mV=m1v1 + m2v2 + m3v3 +...
(2) 물체계의 분열과 질량 중심의 운동
매끄러운 수평면 위에 놓인 질량 m1, m2인 두 공 A, B를 압축된 용수철에 고정시켰다가 운동시킬 때를 생각해 보자. 이때 두 공의 속도를 각각 v1, v2라고 하면 운동량 보존 법칙이 성립한다.
m1v1 + m2v2 = 0            v1/v2 = -m2/m1
즉, 분열할 때 속력 비는 질량 비에 반비례한다.
두 공이 반발 된 후 t초 후의 처음 위치로부터 거리는 x1=v1t, x2=v2t만큼 이동하므로 속력 비는 다음과 같다.
v1/v2=m2/m1=x1/x2
이 관계는 계속 성립하므로 매 시각에서의 질량 중심의 위치는 매 시각에서 두 공 A, B 사이의 거리를 질량에 반비례하여 내분한 점, 즉 처음의 질량 중심 G가 된다.