(1) 반발 계수
진흙 덩어리나 밀가루 반죽 등은 마룻바닥에 충돌한 후 튀어 오르지 않지만 탁구공, 골프공, 테니스공과 같은 물체는 잘 튀어 오른다. 이와 같이 두 물체가 충돌할 때에는 물체가 무엇으로 만들어져 있는가에 따라 충돌 후 튕겨 나가는 모습이 다르다.
두 물체가 일직선상에서 속도 v1, v2로 운동하다가 충돌 후 같은 방향으로 v1', v2'로 되었을 때, 충돌 후 서로 멀어지는 속도 v2' - v1'과 충돌 전 서로 가까워지는 속도(충돌 전의 상대 속도) v1-v2의 비를 반발 계수라고 한다.
반발 계수(e)의 값 : 0<=e<=1
충돌하는 물체들의 반발하는 정도를 나타내는 반발 계수 e는 충돌 전의 상대 속도나 물체의 질량에는 관계없고, 두 물체를 구성하는 물질에 따라 결정된다. 충돌하는 물체가 화약 등에 의해 폭발하는 경우에는 폭발에 의해 화학 에너지가 물체의 운동 에너지로 변하게 되어 e>1인 경우가 된다.
(2) 충돌의 종류
물체가 충돌할 때 반발 계수 값에 관계없이 운동량 보존 법칙이 성립하며, 반발 계수 값에 따라 다음의 세 종류의 충돌로 구분된다.
1. 완전 탄성 충돌(탄성 충돌)
e=1일 때의 충돌로, 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다.
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2=1/2m1v1'^2+1/2m2v2'^2
기체 분자나 당구공 사이의 충돌은 근사적으로 탄성 충돌이며, 질량이 같을 때 충돌 전후의 속도가 서로 교환된다.
2. 비탄성 충돌
0<e<1일 때의 충돌로, 보통의 충돌은 이 경우에 속한다.
이때 멀어지는 속력(v2'-v1')은 가까워지는 속력(v1-v2)보다 작고, 운동 에너지의 일부는 열에너지 등으로 전환된다.
3. 완전 비탄성 충돌
e=0일 때의 충돌로, 충돌 후 두 물체가 완전히 합쳐진다. 이러한 충돌을 하는 물체를 완전 비탄성체라고 하며, 진흙이 이에 속한다.
(3) 일직선상의 충돌
일직선상에서 같은 방향으로 운동하는 질량 m1, m2인 두 공이 각각 v1, v2의 속도로 충돌하여 충돌 후의 속도가 각각 v1', v2'로 변하였다고 하면 운동량 보존 법칙과 반발 계수 식을 이용하여 충돌 후의 속도를 구할 수 있다.
운동량 보존 식 : m1v1' + m2v2' = m1v1 + m2v2
반발 계수 식 : v2'-v1' = e(v1-v2)
우의 두 식을 연립 방정식으로 푼 결과는 다음과 같다.
v1' = v1 - m2(1+e)/m1+m2(v1-v2)
v2' = v2 + m1(1+e)/m1+m2(v1-v2)
1. 질량이 같은 두 물체가 완전 탄성 충돌을 할 때
m1=m2=m, e=1이므로 위의 식에 대입하여 풀면 v1'=v2, v2'=v1이 된다. 즉, 같은 질량의 두 물체가 완전 탄성 충돌하면 서로 속도를 교환한다.
2. 두 물체가 완전 비탄성 충돌을 할 때
두 물체가 완전 비탄성 충돌을 할 때에는 반발 계수 e=0이므로 운동량 보존 법칙만으로 충돌 후의 속도를 구할 수 있다.
충돌 후의 속도를 v'이라고 하면 운동량 보존 법칙에서 다음과 같이 된다.
m1v1 + m2v2 = (m1+m2)v'
v'=m1v1+m2v2/m1+m2
3. 매끄러운 면에 비스듬히 충돌할 때
공이 매끄러운 벽 또는 마룻바닥에 비스듬히 충돌할 때 공은 면에 평행한 방향으로는 힘을 받지 않고 수직한 방향으로만 충격량을 받는다.
충돌 전후의 공의 속도를 각각 v, v', 면에 평행한 속도 성분을 각각 vy, vy', 면에 수직한 속도 성분을 각각 vx,vx'이라고 하면 수직한 성분만이 변하므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
면에 평행한 속도 성분 : vy=vy'
면에 수직한 속도 성분 : |vx'|=e|vx|
완전 탄성 충돌(e=1)의 경우에는 |vx'|=|vx|로 되어 v=v'가 성립하고, Θ=Θ'(입사각 = 반사각)가 된다.
4. 공이 마룻바닥과 충돌하여 튀어 오르는 경우
높이 h에서 자유 낙하한 공이 마룻바닥에 충돌한 후 h'까지 튀어 올랐다면 충돌 전의 속도 v=-sqrt(2gh)=-gt, 충돌 후 속도 v'=sqrt(2gh')=gt'이므로 반발 계수 e는 다음과 같다.
e=-v'/v = sqrt(2gh')/sqrt(2gh) = sqrt(h'/h) = t'/t
이때 튀어 오르는 높이 h'과 h'까지 올라가는 데 걸리는 시간 t'은 각각
h' = e^h, t'=et가 된다. 따라서 높이 h에서 자유 낙하시켜 공이 정지할 때까지 운동한 총 거리 s는
s=h+2e^2h+2e^4h+...=h+2h(e^2+e^4+...)
s=h+2he^2/(1-e)=(1+e)t/(1-e)
또한 완전 탄성 충돌(e=1)에서는 h'=h로 에너지 손실없이 같은 높이까지 반발된다.
(4) 운동량과 운동 에너지
질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 운동량 p = mv, 운동 에너지 K = 1/2mv^2이므로 운동 에너지는 다음과 같이 표시된다.
K=1/2mv^2 = p^2/2m
1. 분열과 운동 에너지
정지하고 있던 질량 M인 물체가 폭발에 의해 질량 m1, 속도 v1인 물체와 질량 m2, 속도 v2인 물체로 분열된다면 운동량 보존 법칙에 의해
m1v1-m2v2=0 v1/v2=m2/m1이 된다.
따라서 폭발에 의해 발생된 에너지가 E, 폭발 후 각 물체의 운동 에너지를 K1, K2라고 하면 운동 에너지 비는
K1/K2=(m1v2^2/2)/(m2v2^2/2) = v1/v2 = m2/m1이다.
따라서 E=K1 + K2이므로 K2 = m1K1/m2를 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
E=K1 + m1K1/m2 = (1+m1/m2)K1
K1 = m2E/m1+m2
K2 = m1E/m1+m2
2. 충돌과 운동 에너지
물체의 충돌 현상에서 운동량 보존 법칙은 항상 성립하지만, 탄성 충돌(e=1) 이외의 경우에는 운동 에너지 일부가 열로 변하기 때문에 역학적 에너지가 보존되지 않는다.
직선 위를 같은 방향으로 운동하는 질량 m1, m2, 속도 v1, v2인 두 공이 충돌 후 각각 v1', v2'의 속도가 되었을 때 반발 계수를 e라고 하면 운동량 보존 법칙과 반발 계수 식에서 v1'과 v2'은 각각 다음과 같다.
v1'=v1-(m2(1+e))(v1-v2)/m1+m2
v2'=v2+(m1(1+e))(v1-v2)/m1+m2
충돌 전후의 운동 에너지의 합을 각각 K, K'이라고 하면
K=1/2(m1v1^2 + m2v2^2)
K'=1/2(m1v1'^2 + m2v2'^2)
이므로, 이 식에 v1', v2' 값을 대입하여 정리하면 충돌 전후의 운동에너지 차는 다음과 같다.
K-K'=1/2(1-e^2)*m1m2(v1-v2)^2/m1+m2
2015년 12월 17일 목요일
운동량 보존
(1) 운동량과 충격량
1. 운동량
물체가 운동하고 있을 때 물체가 갖고 있는 운동 상태의 관성에 해당하는 양을 운동량이라고 한다. 따라서 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 물체는 운동 에너지(K=1/2mv^2)와 운동량 p를 가준다.
p=mv(kgm/s)
①운동량은 속도 v와 같은 방향을 갖는 벡터양이다.
②운동량 변화는 물체에 힘을 얼마나 오랜 시간 동안 작용했는가에 따라 정해진다.
③운동량 변화량 Δp는 나중 운동량 mv에서 처음 운동량 mv0을 뺀 값이다.
Δp=mv-mv0 (벡터 뺄셈)
④평면상에서의 운동량 변화량 : Δp=mv-mv0 (평행사변형법을 이용)
⑤운동하고 있는 물체가 충격량 FΔt를 받아 운동 방향이 변하는 경우 Δp=mv-mv0=p-p0이고, 크기는 다음과 같다.
|Δp| = sqrt(p0^2 + p^2 -2pp0cosΘ)
처음 운동량 p0와 나중 운동량 p의 크기가 같을 때(|p0| = |p| = mv)
Θ=60일때 Δp=mv Θ=90일때 Δp=sqrt(2)mv
Θ=120일때 Δp=sqrt(3)mv Θ=180일때 Δp=2mv
2. 충격량
충격량은 운동량과 같이 운동하고 있는 물체가 갖는 양이 아니라 물체들이 충돌과 같이 상호 작용할 때 한물체가 다른 물체에 줄 수 있는 양이다. 어떤 시간 t 동안에 물체에 주어진 힘 F의 총량, 즉 F와 시간 t의 곱 Ft를 충격량이라고 한다.
I=Ft(Ns)
충격량은 벡터양이고, 그 방향은 힘 F의 방향과 같다.
(2) 충격량-운동량 정리
평면상에서 속도 v0로 운동하고 있는 질량 m인 물체에 일정한 힘 F가 시간 t 동안 작용하여 속도가 v로 변하였다면 가속도 a=v-v0/t이므로 운동 방정식 F=ma에 대입하여 정리하면 다음의 관계가 성립한다.
Ft=mv-mv0
따라서 물체에 주어진 충격량은 운동량 변화량과 같음을 알 수 있다. 이것을 충격량-운동량 정리라고 한다.
(3) 충격력
오른쪽 그림과 같이 골프채와 단단한 골프공이 충돌할 때 충돌하는 도중에 공은 크게 변형이 진행되고 있다. 이와 같이 충돌하는 두 물체 사이에는 상대적으로 강한 힘이 짧은 시간 동안 작용한다. 이때 힘의 크기는 측정하기 어려우나 힘에 의한 총 충격량은 운동량 변화량을 측정하여 구할 수 있다.
짧은 시간만 작용하고 충격량 값밖에는 알 수 없는 큰 힘을 충격력이라고 한다. Δt 동안에 운동량이 Δmv만큼 변했다면 힘 F는
F=Δmv/Δt = Δp/Δt 이다. 즉, 힘은 운동량의 시간적 변화율이다.
1. 물체에 작용하는 힘이 일정할 때 작용 시간이 길어지면 운동량 변화량도 비례하여 커진다. → Δp∝Δt (F=일정)
2. 그림 (가), (나)와 같이 운동량 변화량이 일정할 때 작용 시간이 짧을수록 물체에 작용하는 힘은 커진다. → F∝1/Δt (Δp=일정)
(4) 운동량 보존 법칙
일직선상을 운동하는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A와 질량 m2, 속도 v2인 물체 B가 충돌하여 짧은 시간 후에 물체 A는 v1', B는 v2'으로 되었다. 이때 접촉하였다가 떨어질 때까지의 시간을 Δt, 이 동안에 물체 A가 B에 가하는 평균 힘을 F라고 하면 작용 반작용 법칙의 의해 물체 B가 A에 가하는 힘은 -F가 된다.
따라서 물체 B가 A로부터 받은 충격량을 FΔt라고 하면 물체 A가 B로부터 받은 충격량은 -FΔt가 되고, 충격량-운동량 정리에서
A : -FΔt = m1v1'-m1v1 B : FΔt = m2v2' - m2v2
이다. 위 두 식을 더해서 정리하면
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
(충돌 전 운동량 합) (충돌 후 운동량 합)
이다. 즉, 물체가 분열, 융합, 충돌할 때와 같이 물체들 사이에 서로 힘(내력)이 작용하여 속도가 변하더라도 외력이 작용하지 않으면 힘의 작용 전후의 운동량 총합은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 운동량 보존 법칙이라고 한다.
1. 운동량 보존 법칙
두 물체가 충돌하는 경우, 두 물체가 한 물체계로 합쳐지며 융합하는 경우, 한 물체가 두 개 이상의 물체로 분열하는 경우 및 총알이 물체를 관통하는 경우와 같이 매우 짧은 시간에 서로 힘을 작용하는 순간적인 현상에서 성립한다.
① 운동량은 벡터량이므로 운동량 합성은 벡터 합성으로 한다.
② 내력 : 충돌이나 분열일 때 두 물체 사이에 작용하는 내력은 충격력으로서 매우 크고 작용 시간이 매우 짧다. 이와 같은 경우에 내력의 충격량에 비하여 외력의 충격량이 무시 될 정도이면 운동량 보존 법칙이 성립한다.
2. 분열 또는 융합하는 경우
물체가 분열 또는 융합할 때 운동량 보존 법칙에 의해 다음 관계가 성립한다.
분열 : 0-mv-MV V/v=m/M
융합 : mv=(m+M)V V/v=m/m+M
1. 운동량
물체가 운동하고 있을 때 물체가 갖고 있는 운동 상태의 관성에 해당하는 양을 운동량이라고 한다. 따라서 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 물체는 운동 에너지(K=1/2mv^2)와 운동량 p를 가준다.
p=mv(kgm/s)
①운동량은 속도 v와 같은 방향을 갖는 벡터양이다.
②운동량 변화는 물체에 힘을 얼마나 오랜 시간 동안 작용했는가에 따라 정해진다.
③운동량 변화량 Δp는 나중 운동량 mv에서 처음 운동량 mv0을 뺀 값이다.
Δp=mv-mv0 (벡터 뺄셈)
④평면상에서의 운동량 변화량 : Δp=mv-mv0 (평행사변형법을 이용)
⑤운동하고 있는 물체가 충격량 FΔt를 받아 운동 방향이 변하는 경우 Δp=mv-mv0=p-p0이고, 크기는 다음과 같다.
|Δp| = sqrt(p0^2 + p^2 -2pp0cosΘ)
처음 운동량 p0와 나중 운동량 p의 크기가 같을 때(|p0| = |p| = mv)
Θ=60일때 Δp=mv Θ=90일때 Δp=sqrt(2)mv
Θ=120일때 Δp=sqrt(3)mv Θ=180일때 Δp=2mv
2. 충격량
충격량은 운동량과 같이 운동하고 있는 물체가 갖는 양이 아니라 물체들이 충돌과 같이 상호 작용할 때 한물체가 다른 물체에 줄 수 있는 양이다. 어떤 시간 t 동안에 물체에 주어진 힘 F의 총량, 즉 F와 시간 t의 곱 Ft를 충격량이라고 한다.
I=Ft(Ns)
충격량은 벡터양이고, 그 방향은 힘 F의 방향과 같다.
(2) 충격량-운동량 정리
평면상에서 속도 v0로 운동하고 있는 질량 m인 물체에 일정한 힘 F가 시간 t 동안 작용하여 속도가 v로 변하였다면 가속도 a=v-v0/t이므로 운동 방정식 F=ma에 대입하여 정리하면 다음의 관계가 성립한다.
Ft=mv-mv0
따라서 물체에 주어진 충격량은 운동량 변화량과 같음을 알 수 있다. 이것을 충격량-운동량 정리라고 한다.
(3) 충격력
오른쪽 그림과 같이 골프채와 단단한 골프공이 충돌할 때 충돌하는 도중에 공은 크게 변형이 진행되고 있다. 이와 같이 충돌하는 두 물체 사이에는 상대적으로 강한 힘이 짧은 시간 동안 작용한다. 이때 힘의 크기는 측정하기 어려우나 힘에 의한 총 충격량은 운동량 변화량을 측정하여 구할 수 있다.
짧은 시간만 작용하고 충격량 값밖에는 알 수 없는 큰 힘을 충격력이라고 한다. Δt 동안에 운동량이 Δmv만큼 변했다면 힘 F는
F=Δmv/Δt = Δp/Δt 이다. 즉, 힘은 운동량의 시간적 변화율이다.
1. 물체에 작용하는 힘이 일정할 때 작용 시간이 길어지면 운동량 변화량도 비례하여 커진다. → Δp∝Δt (F=일정)
2. 그림 (가), (나)와 같이 운동량 변화량이 일정할 때 작용 시간이 짧을수록 물체에 작용하는 힘은 커진다. → F∝1/Δt (Δp=일정)
(4) 운동량 보존 법칙
일직선상을 운동하는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A와 질량 m2, 속도 v2인 물체 B가 충돌하여 짧은 시간 후에 물체 A는 v1', B는 v2'으로 되었다. 이때 접촉하였다가 떨어질 때까지의 시간을 Δt, 이 동안에 물체 A가 B에 가하는 평균 힘을 F라고 하면 작용 반작용 법칙의 의해 물체 B가 A에 가하는 힘은 -F가 된다.
따라서 물체 B가 A로부터 받은 충격량을 FΔt라고 하면 물체 A가 B로부터 받은 충격량은 -FΔt가 되고, 충격량-운동량 정리에서
A : -FΔt = m1v1'-m1v1 B : FΔt = m2v2' - m2v2
이다. 위 두 식을 더해서 정리하면
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
(충돌 전 운동량 합) (충돌 후 운동량 합)
이다. 즉, 물체가 분열, 융합, 충돌할 때와 같이 물체들 사이에 서로 힘(내력)이 작용하여 속도가 변하더라도 외력이 작용하지 않으면 힘의 작용 전후의 운동량 총합은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 운동량 보존 법칙이라고 한다.
1. 운동량 보존 법칙
두 물체가 충돌하는 경우, 두 물체가 한 물체계로 합쳐지며 융합하는 경우, 한 물체가 두 개 이상의 물체로 분열하는 경우 및 총알이 물체를 관통하는 경우와 같이 매우 짧은 시간에 서로 힘을 작용하는 순간적인 현상에서 성립한다.
① 운동량은 벡터량이므로 운동량 합성은 벡터 합성으로 한다.
② 내력 : 충돌이나 분열일 때 두 물체 사이에 작용하는 내력은 충격력으로서 매우 크고 작용 시간이 매우 짧다. 이와 같은 경우에 내력의 충격량에 비하여 외력의 충격량이 무시 될 정도이면 운동량 보존 법칙이 성립한다.
2. 분열 또는 융합하는 경우
물체가 분열 또는 융합할 때 운동량 보존 법칙에 의해 다음 관계가 성립한다.
분열 : 0-mv-MV V/v=m/M
융합 : mv=(m+M)V V/v=m/m+M
행성의 원운동
(1)케플러 법칙
17세기 초 독일의 천문학자 케플러는 그의 스승인 덴마크의 천문학자인 티코 브라헤가 정밀하게 관측한 행성의 운동에 관한 관측 자료를 1601년부터 1621년까지 정리 분석하여 다음과 같은 세 가지 법칙을 발견하였다.
1. 제1법칙 | 태양계 내의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 운동한다.
●실제 행성들은 거의 원에 가까운 궤도를 그린다.
2. 제2법칙 | 태양과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 우주 공간에 그리는 면적은 항상 일정하다.
①제2법칙은 행성들의 공전 속력이 태양에서 먼 곳에서는 느리고, 가까운 곳에서는 빠르다는 것을 보여 준다.
②S1과 S2의 면적이 같을 때 행성이 A 지점에서 B 지점까지 가는 데 걸리는 시간과 C 지점에서 D 지점까지 가는 데 걸리는 시간은 같다.
3. 제3법칙 | 행성의 공전 주기 T의 제곱은 타원 궤도의 긴 반지름 R의 세제곱에 비례한다.
T^2 = kR^3
①제3법칙은 태양에서 먼 행성일수록 공전 주기가 길다는 것을 알려 준다.
②제3법칙은 뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하는 데 매우 중요한 역할을 하였다.
③중심력을 받으며 운동하는 물체의 면적 속도는 각 운동량에 비례한다. 행성의 면적 속도가 일정하다는 것은 행성의 각 운동량이 보존된다는 것을 뜻한다.
(2) 만유인력 법칙
케플러 제1법칙에 의하면 행성은 타원 운동을 하지만 타원이라도 거의 원에 가깝다. 이에따라 뉴턴은 행성의 운동을 등속 원운동하는 것으로 생각하여 행성에 작용하는 힘을 다음과 같이 유도하였다.
질량 m인 행성이 반지름 R의 원둘레상을 속력 v, 주기 T인 등속 원운동을 한다면 행성은 태양 쪽으로 구심력 F를 받는다. 구심력 F의 크기는
F=mRω^2 = mR(2π/T)^2 = 4π^2mR/T^2인데, 이것은 태양이 행성을 당기는 힘으로 케플러 제3법칙 T^2 = kR^3을 대입하면
F=4π^2m/kR^2 (태양이 행성을 당기는 힘)이 된다. 이 사실로 미루어 보면 행성도 거리 R의 제곱에 반비례하고 태양의 질량 M에 비례하는 힘 F'으로 태양을 당기고 있다고 생각할 수 있다.
F'=4π^2/k' * M/R^2 (행성이 태양을 당기는 힘)
작용 반작용 법칙에 의하면 F=F'이므로 4π^2/k이 태양의 질량 M에 비례하지 않으면 안된다. 따라서 새로운 상수 G를 도입하여 4π^2/k=GM이라고 하면, 태양과 행성 사이에 작용하는 힘 F는 다음과 같다.
F=GmM/R^2
이를 통해 뉴턴은 태양과 행성 사이에 작용하는 인력이 두 천체의 질량과 거리에 의해 결정되므로, 어떤 특정한 별에 한정되는 것이 아니라 질량이 있는 모든 두 물체 사이에 작용한다고 생각했다.
따라서 두 물체들 사이에 작용하는 만유인력의 크기 F는 각 물체의 질량 m1, m2의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리 r의 제곱의 반비례함을 알 수 있다.
F=Gm1m2/r^2
이것을 만유인력 법칙 또는 뉴턴의 중력 법칙이라 하고, G는 모든 물체의 공통적인 상수로서 만유인력 상수라고 한다.
(3) 만유인력에 의한 역학적 에너지
1. 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지
물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점에서 어떤 특정한 위치로 물체를 서서히 이동시키는 동안에 외력이 한 일이다.
지표면 가까이에 있는 물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점을 지표면으로 할 때 중력장의 세기 g가 일정하므로 mgh로 나타낸다.
질량 M인 지구 중심 O에서 거리 r인 P 지점에 있는 질량 m인 물체에 작용하는 만유인력의 크기 F는
F=GMm/r^2이다. 이때 F와 크기가 같고 방향이 정반대인 외력 F'을 물체에 가하면서 무한히 먼 곳까지 천천히 이동시키면 외력 F'이 한 일 W는 F-r 관계 그래프에서 아래 부분의 넓이와 같고, 그 크기는 W=GMm/r(J)이 된다. 이것은 두 물체들 사이의 만유인력 F에 대하여강제로 이동시킬 때 퍼텐셜 에너지로 전환되므로, 무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞와 거리 r에서의 퍼텐셜 에너지 U와의 차가 된다.
U∞-U=GMm/r
무한원에서는 두 물체들 사이의 만유인력도 0이 되므로 물체의 퍼텐셜 에너지 U∞도 0이 되어 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지를 측정하는 기준 위치가 된다. 따라서 질량 M인 물체가 만드는 만유인력장으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에 놓인 질량 m인 물체의 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U는 다음과 같다.
U=U∞-GMm/r
무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞는 0이므로
U=-GMm/r 이 된다.
2. 만유인력장에서의 역학적 에너지
역학적 에너지 보존 법칙은 물체가 중력이나 탄성력을 받으면서 운동하는 경우뿐만 아니라 만유인력을 받으면서 운동하는 경우에도 성립한다.
질량 M인 물체에서 거리 r만큼 떨어진 지점에 있는 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U=-GMm/r이고, 운동 에너지 K=1/2mv^2이다. 따라서 이 물체의 역학적 에너지 E는 다음과 같다.
E=K+U=1/2mv^2-GMm/r=일정
E<0인 경우 : 물체는 중력장에 속박되어 원운동 또는 타원 궤도를 그리는 운동을 한다.
E>=0인 경우 : 물체는 중력장을 탈출한다.
17세기 초 독일의 천문학자 케플러는 그의 스승인 덴마크의 천문학자인 티코 브라헤가 정밀하게 관측한 행성의 운동에 관한 관측 자료를 1601년부터 1621년까지 정리 분석하여 다음과 같은 세 가지 법칙을 발견하였다.
1. 제1법칙 | 태양계 내의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 운동한다.
●실제 행성들은 거의 원에 가까운 궤도를 그린다.
2. 제2법칙 | 태양과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 우주 공간에 그리는 면적은 항상 일정하다.
①제2법칙은 행성들의 공전 속력이 태양에서 먼 곳에서는 느리고, 가까운 곳에서는 빠르다는 것을 보여 준다.
②S1과 S2의 면적이 같을 때 행성이 A 지점에서 B 지점까지 가는 데 걸리는 시간과 C 지점에서 D 지점까지 가는 데 걸리는 시간은 같다.
3. 제3법칙 | 행성의 공전 주기 T의 제곱은 타원 궤도의 긴 반지름 R의 세제곱에 비례한다.
T^2 = kR^3
①제3법칙은 태양에서 먼 행성일수록 공전 주기가 길다는 것을 알려 준다.
②제3법칙은 뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하는 데 매우 중요한 역할을 하였다.
③중심력을 받으며 운동하는 물체의 면적 속도는 각 운동량에 비례한다. 행성의 면적 속도가 일정하다는 것은 행성의 각 운동량이 보존된다는 것을 뜻한다.
(2) 만유인력 법칙
케플러 제1법칙에 의하면 행성은 타원 운동을 하지만 타원이라도 거의 원에 가깝다. 이에따라 뉴턴은 행성의 운동을 등속 원운동하는 것으로 생각하여 행성에 작용하는 힘을 다음과 같이 유도하였다.
질량 m인 행성이 반지름 R의 원둘레상을 속력 v, 주기 T인 등속 원운동을 한다면 행성은 태양 쪽으로 구심력 F를 받는다. 구심력 F의 크기는
F=mRω^2 = mR(2π/T)^2 = 4π^2mR/T^2인데, 이것은 태양이 행성을 당기는 힘으로 케플러 제3법칙 T^2 = kR^3을 대입하면
F=4π^2m/kR^2 (태양이 행성을 당기는 힘)이 된다. 이 사실로 미루어 보면 행성도 거리 R의 제곱에 반비례하고 태양의 질량 M에 비례하는 힘 F'으로 태양을 당기고 있다고 생각할 수 있다.
F'=4π^2/k' * M/R^2 (행성이 태양을 당기는 힘)
작용 반작용 법칙에 의하면 F=F'이므로 4π^2/k이 태양의 질량 M에 비례하지 않으면 안된다. 따라서 새로운 상수 G를 도입하여 4π^2/k=GM이라고 하면, 태양과 행성 사이에 작용하는 힘 F는 다음과 같다.
F=GmM/R^2
이를 통해 뉴턴은 태양과 행성 사이에 작용하는 인력이 두 천체의 질량과 거리에 의해 결정되므로, 어떤 특정한 별에 한정되는 것이 아니라 질량이 있는 모든 두 물체 사이에 작용한다고 생각했다.
따라서 두 물체들 사이에 작용하는 만유인력의 크기 F는 각 물체의 질량 m1, m2의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리 r의 제곱의 반비례함을 알 수 있다.
F=Gm1m2/r^2
이것을 만유인력 법칙 또는 뉴턴의 중력 법칙이라 하고, G는 모든 물체의 공통적인 상수로서 만유인력 상수라고 한다.
(3) 만유인력에 의한 역학적 에너지
1. 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지
물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점에서 어떤 특정한 위치로 물체를 서서히 이동시키는 동안에 외력이 한 일이다.
지표면 가까이에 있는 물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점을 지표면으로 할 때 중력장의 세기 g가 일정하므로 mgh로 나타낸다.
질량 M인 지구 중심 O에서 거리 r인 P 지점에 있는 질량 m인 물체에 작용하는 만유인력의 크기 F는
F=GMm/r^2이다. 이때 F와 크기가 같고 방향이 정반대인 외력 F'을 물체에 가하면서 무한히 먼 곳까지 천천히 이동시키면 외력 F'이 한 일 W는 F-r 관계 그래프에서 아래 부분의 넓이와 같고, 그 크기는 W=GMm/r(J)이 된다. 이것은 두 물체들 사이의 만유인력 F에 대하여강제로 이동시킬 때 퍼텐셜 에너지로 전환되므로, 무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞와 거리 r에서의 퍼텐셜 에너지 U와의 차가 된다.
U∞-U=GMm/r
무한원에서는 두 물체들 사이의 만유인력도 0이 되므로 물체의 퍼텐셜 에너지 U∞도 0이 되어 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지를 측정하는 기준 위치가 된다. 따라서 질량 M인 물체가 만드는 만유인력장으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에 놓인 질량 m인 물체의 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U는 다음과 같다.
U=U∞-GMm/r
무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞는 0이므로
U=-GMm/r 이 된다.
2. 만유인력장에서의 역학적 에너지
역학적 에너지 보존 법칙은 물체가 중력이나 탄성력을 받으면서 운동하는 경우뿐만 아니라 만유인력을 받으면서 운동하는 경우에도 성립한다.
질량 M인 물체에서 거리 r만큼 떨어진 지점에 있는 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U=-GMm/r이고, 운동 에너지 K=1/2mv^2이다. 따라서 이 물체의 역학적 에너지 E는 다음과 같다.
E=K+U=1/2mv^2-GMm/r=일정
E<0인 경우 : 물체는 중력장에 속박되어 원운동 또는 타원 궤도를 그리는 운동을 한다.
E>=0인 경우 : 물체는 중력장을 탈출한다.
2015년 12월 16일 수요일
원운동
원운동하는 놀이기구나 회전하는 선풍기 날개의 한 점을 보면 원을 그리면서 일정한 속력으로 회전하는 것을 볼 수 있다. 이와 같이 물체가 반지름이 일정한 원둘레상을 일정한 속력으로 돌고 있는 운동을 등속 원운동이라고 한다.
1. 주기
물체가 원둘레상을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 주기라 하고, T로 표시한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 속력 v로 등속 원운동할 때 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v
2. 진동수
단위 시간 동안에 물체가 회전하는 횟수를 진동수라 하고, f나 v로 표시하며, 단위를 Hz를 사용한다. 진동수 f와 주기 T는 다음의 관계가 성립한다.
f=1/T, 1Hz = 1s^-1
3. 등속 원운동의 속력
물체가 등속 원운동을 할 때 물체의 속력은 일정하지만 물체의 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변하므로 속도 v는 일정하지 않고 계속 변한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 한 바퀴 도는 데 T초가 걸렸다면 물체의 속력 v는 다음과 같다.
v=2πr/T
4. 각속도
원운동하는 물체가 단위 시간 동안 회전한 중심각을 각속도라 하고, ω의 기호로 표시하며, 단위는 rad/s를 사용한다.
시간 t(s) 동안에 각 Θ만큼 회전하였다면 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t(rad/s) Θ=ωt(rad)
이 물체는 주기 T(s) 동안에 360, 즉 2π(rad)를 회전하므로 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t=2π/T(rad/s)
속력 v로 등속 원운동하는 물체가 t초 동안에 각 Θ(rad)만큼 회전하면 원둘레상을 운동한 거리 s(호의 길이)는 다음과 같다.
s=vt=rΘ
접선 방향의 속도 v와 각속도 ω의 관계는 v=2πr/T와 ω=2π/T에서
v=rω(m/s)이고, 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v=2π/ω=1/f(초)
(2) 구심 가속도
등속 원운동하는 물체는 속력이 일정하지만 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변한다.
따라서 등속 원운동은 시간에 따라 속도가 계속 변하는 가속도 운동이다.
등속 원운동하는 물체가 짧은 시간 Δt초 동안 점 P에서 Q로 이동하였다면 속도 변화량 Δv=v2-v1이다. 즉, 속도 v1, v2를 평행 이동 시켜 출발점 (C)을 일치하도록 하여 삼각형 ABC를 그리면 AB가 속도 변화량 Δv이다.
그림 (가)와 (나)에서 삼각형 PQO와 삼각형 ABC를 비교해 보면 중심각 POQ = ACB = Θ이고, 선분 OP=OQ=r, AC=BC=v이므로 삼각형 POQ (닮음) 삼각형 ACB가 된다.
두 삼각형의 닮음비에서 다음과 같은 식을 얻는다.
PQ/r=Δv/v
Δt를 매우 짧게 하면 호 PQ는 현 PQ와 같아지고, PQ = vΔt가 되므로 vΔt/r=|Δv|/v가 된다.
따라서 가속도 a의 크기는 a=|Δv|/Δt = v^2/r = rω^2 = 4π^2r/T^2 = vω(m/s^2)
이 된다. 또 가속도 a의 방향은 Δv의 방향과 같고, ΔΘ를 매우 작게 하면 Δv는 v1과 거의 직각을 이루게 되어 가속도의 방향은 원의 중심을 향한다. 따라서 등속 원운동에서의 가속도는 항상 원의 중심을 향하므로 구심 가속도라고 한다.
구심 가속도 a는 원의 중심을 향하고, 그 크기는 다음과 같다.
a=v^2/r=rω^2=4π^2r/T^2
구심 가속도의 크기는 일정하지만 가속도의 방향이 계속 변하므로 등가속도 운동은 아니다.
(3) 구심력
등속 원운동하는 물체는 그 속력이 일정하여도 원운동의 중심을 향하는 가속도가 필요하므로 이 가속도를 생기게 하는 중심 방향의 힘이 물체에 작용해야 한다. 이 힘은 가속도와 같이 항상 원의 중심을 향하므로 구심력이라고 한다.
구심력의 방향은 가속도의 방향, 즉 원의 중심 방향이고, 반지름 r인 원궤도를 도는 질량 m인 물체에 작용하는 구심력 F는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 다음과 같다.
F=ma=mv^2/r=mrω^2=4π^2mr/T^2 (ω=2π/T)
1. 일정한 크기의 힘이 항상 운동 방향에 수직한 방향으로 작용하면 이 힘이 구심력이 되어 물체는 등속 원운동을 하게 된다. 구심력의 방향은 항상 변하므로 크기는 일정해도 힘은 일정한 것이 아니다.
2. 구심력의 역할을 하는 힘
(1) 실의 장력 : 실에 매단 돌이 원운동할 때에는 실의 장력이 구심력이 된다.
(2) 마찰력 : 회전하는 원판 위의 물체나 수평면에서 자동차가 원운동할 때 지면과 타이어 사이의 마찰력이 구심력의 역할을 한다.
(3) 만유인력 : 지구나 그 밖의 행성이 태양 주위를 공전할 때 또는 인공위성이 지구 주위를 돌 때 만유인력이 구심력의 역할을 한다.
(4) 정전기력 : 원자핵 주위를 도는 전자의 운동은 전기력이 구심력의 역할을 한다.
1. 주기
물체가 원둘레상을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 주기라 하고, T로 표시한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 속력 v로 등속 원운동할 때 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v
2. 진동수
단위 시간 동안에 물체가 회전하는 횟수를 진동수라 하고, f나 v로 표시하며, 단위를 Hz를 사용한다. 진동수 f와 주기 T는 다음의 관계가 성립한다.
f=1/T, 1Hz = 1s^-1
3. 등속 원운동의 속력
물체가 등속 원운동을 할 때 물체의 속력은 일정하지만 물체의 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변하므로 속도 v는 일정하지 않고 계속 변한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 한 바퀴 도는 데 T초가 걸렸다면 물체의 속력 v는 다음과 같다.
v=2πr/T
4. 각속도
원운동하는 물체가 단위 시간 동안 회전한 중심각을 각속도라 하고, ω의 기호로 표시하며, 단위는 rad/s를 사용한다.
시간 t(s) 동안에 각 Θ만큼 회전하였다면 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t(rad/s) Θ=ωt(rad)
이 물체는 주기 T(s) 동안에 360, 즉 2π(rad)를 회전하므로 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t=2π/T(rad/s)
속력 v로 등속 원운동하는 물체가 t초 동안에 각 Θ(rad)만큼 회전하면 원둘레상을 운동한 거리 s(호의 길이)는 다음과 같다.
s=vt=rΘ
접선 방향의 속도 v와 각속도 ω의 관계는 v=2πr/T와 ω=2π/T에서
v=rω(m/s)이고, 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v=2π/ω=1/f(초)
(2) 구심 가속도
등속 원운동하는 물체는 속력이 일정하지만 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변한다.
따라서 등속 원운동은 시간에 따라 속도가 계속 변하는 가속도 운동이다.
등속 원운동하는 물체가 짧은 시간 Δt초 동안 점 P에서 Q로 이동하였다면 속도 변화량 Δv=v2-v1이다. 즉, 속도 v1, v2를 평행 이동 시켜 출발점 (C)을 일치하도록 하여 삼각형 ABC를 그리면 AB가 속도 변화량 Δv이다.
그림 (가)와 (나)에서 삼각형 PQO와 삼각형 ABC를 비교해 보면 중심각 POQ = ACB = Θ이고, 선분 OP=OQ=r, AC=BC=v이므로 삼각형 POQ (닮음) 삼각형 ACB가 된다.
두 삼각형의 닮음비에서 다음과 같은 식을 얻는다.
PQ/r=Δv/v
Δt를 매우 짧게 하면 호 PQ는 현 PQ와 같아지고, PQ = vΔt가 되므로 vΔt/r=|Δv|/v가 된다.
따라서 가속도 a의 크기는 a=|Δv|/Δt = v^2/r = rω^2 = 4π^2r/T^2 = vω(m/s^2)
이 된다. 또 가속도 a의 방향은 Δv의 방향과 같고, ΔΘ를 매우 작게 하면 Δv는 v1과 거의 직각을 이루게 되어 가속도의 방향은 원의 중심을 향한다. 따라서 등속 원운동에서의 가속도는 항상 원의 중심을 향하므로 구심 가속도라고 한다.
구심 가속도 a는 원의 중심을 향하고, 그 크기는 다음과 같다.
a=v^2/r=rω^2=4π^2r/T^2
구심 가속도의 크기는 일정하지만 가속도의 방향이 계속 변하므로 등가속도 운동은 아니다.
(3) 구심력
등속 원운동하는 물체는 그 속력이 일정하여도 원운동의 중심을 향하는 가속도가 필요하므로 이 가속도를 생기게 하는 중심 방향의 힘이 물체에 작용해야 한다. 이 힘은 가속도와 같이 항상 원의 중심을 향하므로 구심력이라고 한다.
구심력의 방향은 가속도의 방향, 즉 원의 중심 방향이고, 반지름 r인 원궤도를 도는 질량 m인 물체에 작용하는 구심력 F는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 다음과 같다.
F=ma=mv^2/r=mrω^2=4π^2mr/T^2 (ω=2π/T)
1. 일정한 크기의 힘이 항상 운동 방향에 수직한 방향으로 작용하면 이 힘이 구심력이 되어 물체는 등속 원운동을 하게 된다. 구심력의 방향은 항상 변하므로 크기는 일정해도 힘은 일정한 것이 아니다.
2. 구심력의 역할을 하는 힘
(1) 실의 장력 : 실에 매단 돌이 원운동할 때에는 실의 장력이 구심력이 된다.
(2) 마찰력 : 회전하는 원판 위의 물체나 수평면에서 자동차가 원운동할 때 지면과 타이어 사이의 마찰력이 구심력의 역할을 한다.
(3) 만유인력 : 지구나 그 밖의 행성이 태양 주위를 공전할 때 또는 인공위성이 지구 주위를 돌 때 만유인력이 구심력의 역할을 한다.
(4) 정전기력 : 원자핵 주위를 도는 전자의 운동은 전기력이 구심력의 역할을 한다.
2015년 12월 12일 토요일
포물선 운동
(1) 포물선 운동
포물선 운동(projectile motion)은 수평 방향(x축) 운동과 연직 방향(y축) 운동으로 분해하여 생각할 수 있다. 이때 각 방향의 힘(분력)이 그 방향의 운동에 관계하므로 포물선 운동은 서로 독립된 직선 운동을동시에 하고 있는 것과 같은 모양이 된다.
공기 저항을 무시하면 포물선 운동하는 물체는 수평 방향(x축)으로는 힘을 받지 않으므로 수평 방향의 가속도는 0이다. 따라서 수평 방향의 속도는 변하지 않고 등속 직선 운동(등속도 운동)을 한다. 연직 방향(y축)으로는 중력만을 받으므로 연직 아랫 방향의 가속도 g(중력 가속도)인 등가속도 직선 운동을 한다.
(2) 수평 방향으로 던져진 물체의 운동
수평 방향으로 던져진 물체는 수평 방향으로는 등속 직선 운동(등속도 운동)을 하고, 연직 방향으로는 자유 낙하 운동(등가속도 운동)을 한다.
1. 물체에 작용하는 힘과 운동의 해석
수평으로 초속도 v0로 던져진 물체는 수평 방향으로는 힘을 받지 않고, 연직 아랫방향으로만 중력 F=mg를 받는다.
2. 시간 t초 후의 속도(v)
수평 방향(x축)은 등속도 운동이고, 연직 방향(y축)은 자유 낙하 운동이다.
시간 t초 후 물체의 속도 v의 x 성분과 y 성분을 각각 vx, vy라고 하면
vx=v0 (등속도 운동), vy=gt(자유 낙하 운동)
이다. 따라서 t초 후의 속도 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v = sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + (gt)^2), 방향 : tanθ = vy/vx = gt/v0
3. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후의 위치 x, y는 다음과 같다.
등속도 운동 : x=v0t, 자유 낙하 운동 : y=1/2gt^2
4. 운동 경로의 식 | 위 두 식에서 시간 t를 소거하면 경로의 식은 다음과 같다.
y=1/2g(x/v0)^2=gx^2/2v0^2
5. 지면 도달 시간(t) | 자유 낙하하는 시간과 같다.
h=1/2gt^2에서 t=sqrt(2h/g)
6. 수평 도달 거리(R) | 낙하 시간 t 동안 등속도 운동을 하므로 수평 도달 거리 R는 다음과 같다.
R=v0t=v0*sqrt(2h/g)
7. 지면 도달 속도(v) | 지면 도달 속도 v의 수평 성분은 vx=v0이고, 연직 성분은 vy = gt = sqrt(2gh)이므로 지면 도달 속도 v는 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + 2gh) 방향 : tanθ = vy/vx = sqrt(2gh)/v0
(3) 비스듬히 위로 던져 올린 물체의 운동
수평면과 각 θ를 이룬 방향으로 초속도 v0로 던져 올린 물체는 공기 저항을 무시할 때 수평 방향으로는 힘을 받지 않고 연직 방향으로만 중력을 받는다.
따라서 이러한 포물선 운동은 수평 방향으로는 등속도 운동으로, 연직 방향으로는 연직 투상 운동으로 해석하면 된다.
1. 시간 t초 후의 속도(v) | 시간 t초 후 물체의 속도 v의 수평 성분 vx와 연직 성분 vy는 다음과 같다.
vx=v0x=v0cosθ(등속도 운동)
vy=v0y-gt=v0sinθ-gt(연직 투상 운동)
속도 v와 수평 방향이 이루는 각을 파이라고 하면 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) 방향 : tanΦ=vy/vx=v0sinθ-gt/v0cosθ
2. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후 물체의 위치는 출발점을 원점으로 할 때 좌표 (x, y)로 표시한다.
x=v0cosθt
y=v0yt-1/2gt^2=v0sinθt-1/2gt^2
3. 운동 경로의 식 | 위의 두 식에서 t를 소거하여 운동 경로의 식을 구한다.
y=tanθx - gx^2/2v0^2cos^2θ
4. 포물선 운동의 최고점 | 비스듬히 던져 올린 물체가 최고점에 도달하면 물체의 속도는 수평 방향 성분이 v0cosθ이고, 연직 방향의 성분은 0이 된다. 따라서 최고점의 높이와 소요 시간 등을 구할 때에는 그 점에서 연직 방향의 상승 속도가 0이므로 y 방향의 운동 공식에 vy=0을 대입하여 구한다.
크기 : v=vx=v0x=v0cosθ
최고점 도달 시간 : 최고점 도달 시간은 vy=0일 때의 시간이므로 vy=v0sinθ-gt에서 구한다.
최고점 높이 : 연직 방향의 초속도 v0y = v0sinθ이고 최고점에서 vy=0이므로 -2gy = vy^2-v0y^2
최고점까지의 수평 거리 : 수평 방향으로는 초속도 v0cosθ로 등속도 운동을 한다
(4) 포물선 운동과 역학적 에너지 보존 법칙
자유 낙하시킨 물체뿐만 아니라 공중으로 던져 올린 물체는 공기 저항력을 무시하면 중력만 받으면서 운동하므로 역학적 에너지 보존 법칙이 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 질량 m인 물체가 초속도 v0로 지면(O점)에서 비스듬히 윗방향으로 던져 올려졌을 때 O점에서 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는
퍼텐셜 에너지 U0=0, 운동 에너지 K0=1/2mv0^2
이다. 따라서 O점에서 물체의 역학적 에너지 E0는
E0 = K0 + U0 = 1/2mv0^2
인데, 초속도 v0를 수평 성분 v0x와 연직 성분 v0y로 분해하면 E0는
E0 = 1/2mv0^2 = 1/2m(v0x^2 + v0y^2)
이다. 이때 임의의 높이 y인 P점에서 물체의 속도가 v이면 역학적 에너지 E는
E=U+K=mgy+1/2mv^2 = mgy + 1/2mvx^2 + 1/2mvy^2
=mgy+1/2mv0x^2 + 1/2m(v0y^2 - 2gy)
=1/2mv0x^2 + 1/2mv0y^2 = 1/2mv0^2
가 되어 던져 올릴 때의 역학적 에너지 E0와 같게 된다. 이로부터 포물선 운동에서 운동 중의 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총합은 일정하게 보존된다는 것을 알 수 있다.
또한 마찰이 없는 곡면을 따라 운동하는 물체의 경우에도 항상 역학적 에너지가 일정하게 보존된다. 따라서 마찰이나 저항이 무시되는 경우 중력장에서 물체의 운동은 역학적 에너지 보존 법칙으로 해석하면 쉽게 이해된다.
3. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후의 위치 x, y는 다음과 같다.
등속도 운동 : x=v0t, 자유 낙하 운동 : y=1/2gt^2
4. 운동 경로의 식 | 위 두 식에서 시간 t를 소거하면 경로의 식은 다음과 같다.
y=1/2g(x/v0)^2=gx^2/2v0^2
5. 지면 도달 시간(t) | 자유 낙하하는 시간과 같다.
h=1/2gt^2에서 t=sqrt(2h/g)
6. 수평 도달 거리(R) | 낙하 시간 t 동안 등속도 운동을 하므로 수평 도달 거리 R는 다음과 같다.
R=v0t=v0*sqrt(2h/g)
7. 지면 도달 속도(v) | 지면 도달 속도 v의 수평 성분은 vx=v0이고, 연직 성분은 vy = gt = sqrt(2gh)이므로 지면 도달 속도 v는 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + 2gh) 방향 : tanθ = vy/vx = sqrt(2gh)/v0
(3) 비스듬히 위로 던져 올린 물체의 운동
수평면과 각 θ를 이룬 방향으로 초속도 v0로 던져 올린 물체는 공기 저항을 무시할 때 수평 방향으로는 힘을 받지 않고 연직 방향으로만 중력을 받는다.
따라서 이러한 포물선 운동은 수평 방향으로는 등속도 운동으로, 연직 방향으로는 연직 투상 운동으로 해석하면 된다.
1. 시간 t초 후의 속도(v) | 시간 t초 후 물체의 속도 v의 수평 성분 vx와 연직 성분 vy는 다음과 같다.
vx=v0x=v0cosθ(등속도 운동)
vy=v0y-gt=v0sinθ-gt(연직 투상 운동)
속도 v와 수평 방향이 이루는 각을 파이라고 하면 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) 방향 : tanΦ=vy/vx=v0sinθ-gt/v0cosθ
2. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후 물체의 위치는 출발점을 원점으로 할 때 좌표 (x, y)로 표시한다.
x=v0cosθt
y=v0yt-1/2gt^2=v0sinθt-1/2gt^2
3. 운동 경로의 식 | 위의 두 식에서 t를 소거하여 운동 경로의 식을 구한다.
y=tanθx - gx^2/2v0^2cos^2θ
4. 포물선 운동의 최고점 | 비스듬히 던져 올린 물체가 최고점에 도달하면 물체의 속도는 수평 방향 성분이 v0cosθ이고, 연직 방향의 성분은 0이 된다. 따라서 최고점의 높이와 소요 시간 등을 구할 때에는 그 점에서 연직 방향의 상승 속도가 0이므로 y 방향의 운동 공식에 vy=0을 대입하여 구한다.
크기 : v=vx=v0x=v0cosθ
최고점 도달 시간 : 최고점 도달 시간은 vy=0일 때의 시간이므로 vy=v0sinθ-gt에서 구한다.
최고점 높이 : 연직 방향의 초속도 v0y = v0sinθ이고 최고점에서 vy=0이므로 -2gy = vy^2-v0y^2
최고점까지의 수평 거리 : 수평 방향으로는 초속도 v0cosθ로 등속도 운동을 한다
(4) 포물선 운동과 역학적 에너지 보존 법칙
자유 낙하시킨 물체뿐만 아니라 공중으로 던져 올린 물체는 공기 저항력을 무시하면 중력만 받으면서 운동하므로 역학적 에너지 보존 법칙이 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 질량 m인 물체가 초속도 v0로 지면(O점)에서 비스듬히 윗방향으로 던져 올려졌을 때 O점에서 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는
퍼텐셜 에너지 U0=0, 운동 에너지 K0=1/2mv0^2
이다. 따라서 O점에서 물체의 역학적 에너지 E0는
E0 = K0 + U0 = 1/2mv0^2
인데, 초속도 v0를 수평 성분 v0x와 연직 성분 v0y로 분해하면 E0는
E0 = 1/2mv0^2 = 1/2m(v0x^2 + v0y^2)
이다. 이때 임의의 높이 y인 P점에서 물체의 속도가 v이면 역학적 에너지 E는
E=U+K=mgy+1/2mv^2 = mgy + 1/2mvx^2 + 1/2mvy^2
=mgy+1/2mv0x^2 + 1/2m(v0y^2 - 2gy)
=1/2mv0x^2 + 1/2mv0y^2 = 1/2mv0^2
가 되어 던져 올릴 때의 역학적 에너지 E0와 같게 된다. 이로부터 포물선 운동에서 운동 중의 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총합은 일정하게 보존된다는 것을 알 수 있다.
또한 마찰이 없는 곡면을 따라 운동하는 물체의 경우에도 항상 역학적 에너지가 일정하게 보존된다. 따라서 마찰이나 저항이 무시되는 경우 중력장에서 물체의 운동은 역학적 에너지 보존 법칙으로 해석하면 쉽게 이해된다.
연직 운동
(1) 지구의 중력
지구상의 물체는 지구의 각 부분으로부터 만유인력을 받고 있으며, 이들의 합력이 물체가 지구로부터 받는 인력이다. 물체들 사이에 작용하는 만유인력만에 의한 가속도를 중력 가속도라고 한다.
지구 반지름을 R, 지구 질량을 M, 만유인력 상수를 G, 물체의 질량을 m, 중력 가속도를 g라고 하면 중력 가속도는 다음과 같다.
만유인력 = 중력, 즉 F = GMn/R^2 = mg
g = GM/R^2, GM = gR^2 = g'r^2 = 일정
지구 표면 근처의 물체에는 만유인력 외에도 지구 자전에 의한 원심력이 작용하고 있다. 이 두 힘의 합력이 물체에 작용하는 알짜힘, 즉 지구의 중력이다.
(2) 중력 가속도
공기의 저항과 지구 자전 효과를 무시하면 지표면 근처의 동일한 장소에서 낙하하는 물체는 물체의 질량, 모양, 크기 등에 관계없이 일정한 가속도가 생긴다. 이 가속도를 중력 가속도라 하고, g로 나타낸다.
g=9.8m/s^2
1. 중력 가속도는 연직 아래 방향, 즉 지구 중심을 향한다.
2. 지표면에서의 모든 낙하 운동은 등가속도 운동이다.
3. 물체에 작용하는 중력(무게) F=mg이다.
4. 중력 가속도는 장소에 따라 약간씩 다르나 평균 9.8m/s^2이다.
5. 중력 가속도 g값은 지구 자전에 의한 원심력의 영향과 지구 타원체에 의해 적도 지방이 가장 작고, 양 극지방으로 갈수록 커진다.
자유 낙하 운동
손에 들고 있는 물체를 가만히 놓아 떨어뜨릴 때와 같이 초속도 없이 중력에 의해 낙하하는 등가속도 직선 운동을 자유 낙하라고 한다.
공기의 저항을 무시하고 연직 방향으로 고도가 높지 않은 범위 내에서 중력 가속도 g는 일정하다고 볼 수 있으므로 자유 낙하 운동은 등가속도 직선 운동이 된다.
(1) 자유 낙하 운동 공식
자유 낙하 운동은 처음 위치를 원점으로 하고, 그 위치에서 연직 아랫방향을 (+) 방향으로 하면 v0=0, a=g인 등가속도 직선 운동이다.
1. 낙하거리 s만큼 자유 낙하하는 데 걸리는 시간 (t) : s-t 공식 s=1/2gt^2에서
t=sqrt(2s/g)
2. 변위 s만큼 자유 낙하한 물체의 속도 (v) : s-v 공식 2gs=v^2에서
v=sqrt(2gs)
(2) 자유 낙하 운동과 역학적 에너지 보존
물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합을 역학적 에너지라고 한다. 일반적으로 마찰력이나 공기의 저항력이 무시될 때 물체의 운동 상태가 변하여도 물체가 가지고 있는 역학적 에너지는 서로 전환되지만 그 전체의 양은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 역학적 에너지 보존 법칙이라고 한다.
K1 + U1 = K2 + U2 = 일정
처음 역학적 에너지 = 나중 역학적 에너지
질량 m인 물체가 기준면으로 부터 높이 H인 곳에서 자유 낙하하는 경우를 생각해 보자.
높이 h1에서의 속도가 v1, 높이 h2에서의 속도가 v2일 때 등가속도 운동 공식 2as = v^2 - v0^2에 a=g이고, v=v2, v0=v1, s=h1-h2를 대입하면
2g(h1-h2) = v2^2-v1^2이 된다. 이 식의 양 변에 각각 1/2m을 곱하면
mg(h1-h2) = 1/2mv2^2 + mgh2 = 일정
따라서 역학적 에너지는 운동의 임의의 점에서 일정하게 보존됨을 알 수 있다.
물체가 높이 H에서 h1까지 자유 낙하할 때 낙하한 거리는 H-h1이므로 속도 v1은 2as = v^2-v0^2에 a=g, s=H-h1, v=v1, v0=0을 대입하면
v1=sqrt(2g(H-h1) 이 된다. 이것을 높이 h1에서의 역학적 에너지에 대입하면
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2m[sqrt(2g(H-h1))]^2 + mgh1 = mgH
이다. 즉, 높이 h1에서의 역학적 에너지는 처음의 역학적 에너지와 같다. 따라서 역학적 에너지는 높이에 관계없이 항상 같음을 알 수 있다.
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2mv2^2 + mgh2 = mgH = 1/2mV^2(=일정)
이 관계식은 마찰이 무시될 때 중력장 내의 모든 운동에 적용할 수 있다.
2. 자유 낙하 운동의 에너지 그래프 : 자유 낙하할 때 물체의 운동 에너지(K), 퍼텐셜 에너지(U), 역학적 에너지(E)의 낙하거리(h)와 낙하 시간(t)의 관계 그래프는 오른쪽과 같이 된다.
(3) 연직 방향으로 던져진 물체의 운동
1. 연직 아래로 던져진 물체의 운동(연직 투하 운동)
연직 아랫방향으로 초속도 v0로 던져진 물체에 작용하는 힘은 중력뿐이므로 중력 가속도 g로 등가속도 운동을 한다. 물체가 손을 떠날 때까지는 손에서 힘을 받아 가속되지만 물체가 초속도 v0로 손을 떠나면 그 후에는 손에서는 힘을 받지 않고 중력에 의해서만 가속된다.
시각 0인 원점에서 물체를 초속도 v0로 아래로 던진 후 시각 t에서의 물체의 속도 v와 낙하한 거리 s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=g를 대입하여 구한다.
(2) 연직 위로 던져 올린 물체의 운동(연직 투상 운동)
연직 위로 던져 올린 물체의 운동은 올라가면서 속력이 점점 감소하고, 최고 높이에서 속력이 0이 되었다가 낙하하면서 점점 증가한다.
연직 위로 초속도 v0로 던져진 물체는 운동하는 동안 연직 아래쪽으로 중력(F=mg)을 받는다. 따라서 물체는 연직 아랫방향(힘의 방향)의 가속도 g가 생기므로 매초 9.8m/s씩 속도가 감소한다.
즉, 초속도 v0과 중력 가속도 g의 방향이 반대이므로 초속도 방향을 (+)로 하면 물체는 가속도가 -g인 등가속도 직선 운동을 한다.
시각 0에서 물체를 초속도 v0로 던져 올렸다면 시각 t에서 물체의 속도 v와 변위(운동 거리) s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=-g를 대입하여 구한다.
1. 최고점 도달 시간(t1)과 높이(H) : 연직 아래로 중력이 작용하므로 연직 위로 던져진 물체는 얼마 후 최고 높이에 도달하며, 그때 물체의 속도는 0이 된다. 즉, 운동 방향이 정반대로 변하는 순간의 속도는 0이 된다.
최고점 도달 시간(t1) 최고점에서 속도 v=0이므로 v=v0-gt를 이용하면 0=v0-gt1에서 최고점까지 올라가는 데 걸리는 시간 t1은 다음과 같다.
t1=v0/g
최고점 높이 (H) 최고점에서 속도 v=0이므로 -2gs = v^2-v0^2에 s=H, v=0을 대입하면 -2gH = 0-v0^2에서 최고점 높이 H는 다음과 같다.
H = v0^2/2g
2. 출발점(처음 위치) 도달 시간(t2)와 속도(v2) : 연직 상방으로 초속도 v0로 던져진 물체가 다시 처음 위치인 출발점에 도달하는 시간을 t2라고 하면 그때의 변위 s는 0이 되므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
s=v0t2 - 1/2gt2^2=0에서 t2!=0이므로 t2=2v0/g = 2t1
-2gs = v2^2-v0^2=0에서 v2=-v0
처음 위치로 되돌아오는 시간(t2)은 최고점 도달 시간(t1)의 2배이고, 이때의 속도는 초속도(v0)의 크기와 같고 방향은 반대가 된다.
최고점 도달 시간(t1)과 최고점에서 처음 위치인 출발점까지 낙하하는 데 걸린 시간은 같다.
3. 연직 투상 운동의 대칭성
최고점 높이까지 상승하는 운동(속도가 v0->0이 되는 운동)와 최고점에서 처음 위치까지 낙하하는 운동(속도가 0 -> v0가 되는 운동)는 대칭적이다.
최고점 높이(H)에 도달하는 시간(t1)과 최고점에서 낙하하여 처음 출발 위치에 도달하는 시간은 같다. 또 최고점에서 낙하 운동은 자유 낙하 운동이다.
임의의 높이에서 상승 속도와 낙하 속도는 크기가 같고 반대 방향이다.
어느 높이까지 올라가는 시간과 그 높이에서 처음 위치로 낙하하는 시간은 같다.
지구상의 물체는 지구의 각 부분으로부터 만유인력을 받고 있으며, 이들의 합력이 물체가 지구로부터 받는 인력이다. 물체들 사이에 작용하는 만유인력만에 의한 가속도를 중력 가속도라고 한다.
지구 반지름을 R, 지구 질량을 M, 만유인력 상수를 G, 물체의 질량을 m, 중력 가속도를 g라고 하면 중력 가속도는 다음과 같다.
만유인력 = 중력, 즉 F = GMn/R^2 = mg
g = GM/R^2, GM = gR^2 = g'r^2 = 일정
지구 표면 근처의 물체에는 만유인력 외에도 지구 자전에 의한 원심력이 작용하고 있다. 이 두 힘의 합력이 물체에 작용하는 알짜힘, 즉 지구의 중력이다.
(2) 중력 가속도
공기의 저항과 지구 자전 효과를 무시하면 지표면 근처의 동일한 장소에서 낙하하는 물체는 물체의 질량, 모양, 크기 등에 관계없이 일정한 가속도가 생긴다. 이 가속도를 중력 가속도라 하고, g로 나타낸다.
g=9.8m/s^2
1. 중력 가속도는 연직 아래 방향, 즉 지구 중심을 향한다.
2. 지표면에서의 모든 낙하 운동은 등가속도 운동이다.
3. 물체에 작용하는 중력(무게) F=mg이다.
4. 중력 가속도는 장소에 따라 약간씩 다르나 평균 9.8m/s^2이다.
5. 중력 가속도 g값은 지구 자전에 의한 원심력의 영향과 지구 타원체에 의해 적도 지방이 가장 작고, 양 극지방으로 갈수록 커진다.
자유 낙하 운동
손에 들고 있는 물체를 가만히 놓아 떨어뜨릴 때와 같이 초속도 없이 중력에 의해 낙하하는 등가속도 직선 운동을 자유 낙하라고 한다.
공기의 저항을 무시하고 연직 방향으로 고도가 높지 않은 범위 내에서 중력 가속도 g는 일정하다고 볼 수 있으므로 자유 낙하 운동은 등가속도 직선 운동이 된다.
(1) 자유 낙하 운동 공식
자유 낙하 운동은 처음 위치를 원점으로 하고, 그 위치에서 연직 아랫방향을 (+) 방향으로 하면 v0=0, a=g인 등가속도 직선 운동이다.
1. 낙하거리 s만큼 자유 낙하하는 데 걸리는 시간 (t) : s-t 공식 s=1/2gt^2에서
t=sqrt(2s/g)
2. 변위 s만큼 자유 낙하한 물체의 속도 (v) : s-v 공식 2gs=v^2에서
v=sqrt(2gs)
(2) 자유 낙하 운동과 역학적 에너지 보존
물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합을 역학적 에너지라고 한다. 일반적으로 마찰력이나 공기의 저항력이 무시될 때 물체의 운동 상태가 변하여도 물체가 가지고 있는 역학적 에너지는 서로 전환되지만 그 전체의 양은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 역학적 에너지 보존 법칙이라고 한다.
K1 + U1 = K2 + U2 = 일정
처음 역학적 에너지 = 나중 역학적 에너지
질량 m인 물체가 기준면으로 부터 높이 H인 곳에서 자유 낙하하는 경우를 생각해 보자.
높이 h1에서의 속도가 v1, 높이 h2에서의 속도가 v2일 때 등가속도 운동 공식 2as = v^2 - v0^2에 a=g이고, v=v2, v0=v1, s=h1-h2를 대입하면
2g(h1-h2) = v2^2-v1^2이 된다. 이 식의 양 변에 각각 1/2m을 곱하면
mg(h1-h2) = 1/2mv2^2 + mgh2 = 일정
따라서 역학적 에너지는 운동의 임의의 점에서 일정하게 보존됨을 알 수 있다.
물체가 높이 H에서 h1까지 자유 낙하할 때 낙하한 거리는 H-h1이므로 속도 v1은 2as = v^2-v0^2에 a=g, s=H-h1, v=v1, v0=0을 대입하면
v1=sqrt(2g(H-h1) 이 된다. 이것을 높이 h1에서의 역학적 에너지에 대입하면
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2m[sqrt(2g(H-h1))]^2 + mgh1 = mgH
이다. 즉, 높이 h1에서의 역학적 에너지는 처음의 역학적 에너지와 같다. 따라서 역학적 에너지는 높이에 관계없이 항상 같음을 알 수 있다.
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2mv2^2 + mgh2 = mgH = 1/2mV^2(=일정)
이 관계식은 마찰이 무시될 때 중력장 내의 모든 운동에 적용할 수 있다.
2. 자유 낙하 운동의 에너지 그래프 : 자유 낙하할 때 물체의 운동 에너지(K), 퍼텐셜 에너지(U), 역학적 에너지(E)의 낙하거리(h)와 낙하 시간(t)의 관계 그래프는 오른쪽과 같이 된다.
(3) 연직 방향으로 던져진 물체의 운동
1. 연직 아래로 던져진 물체의 운동(연직 투하 운동)
연직 아랫방향으로 초속도 v0로 던져진 물체에 작용하는 힘은 중력뿐이므로 중력 가속도 g로 등가속도 운동을 한다. 물체가 손을 떠날 때까지는 손에서 힘을 받아 가속되지만 물체가 초속도 v0로 손을 떠나면 그 후에는 손에서는 힘을 받지 않고 중력에 의해서만 가속된다.
시각 0인 원점에서 물체를 초속도 v0로 아래로 던진 후 시각 t에서의 물체의 속도 v와 낙하한 거리 s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=g를 대입하여 구한다.
(2) 연직 위로 던져 올린 물체의 운동(연직 투상 운동)
연직 위로 던져 올린 물체의 운동은 올라가면서 속력이 점점 감소하고, 최고 높이에서 속력이 0이 되었다가 낙하하면서 점점 증가한다.
연직 위로 초속도 v0로 던져진 물체는 운동하는 동안 연직 아래쪽으로 중력(F=mg)을 받는다. 따라서 물체는 연직 아랫방향(힘의 방향)의 가속도 g가 생기므로 매초 9.8m/s씩 속도가 감소한다.
즉, 초속도 v0과 중력 가속도 g의 방향이 반대이므로 초속도 방향을 (+)로 하면 물체는 가속도가 -g인 등가속도 직선 운동을 한다.
시각 0에서 물체를 초속도 v0로 던져 올렸다면 시각 t에서 물체의 속도 v와 변위(운동 거리) s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=-g를 대입하여 구한다.
1. 최고점 도달 시간(t1)과 높이(H) : 연직 아래로 중력이 작용하므로 연직 위로 던져진 물체는 얼마 후 최고 높이에 도달하며, 그때 물체의 속도는 0이 된다. 즉, 운동 방향이 정반대로 변하는 순간의 속도는 0이 된다.
최고점 도달 시간(t1) 최고점에서 속도 v=0이므로 v=v0-gt를 이용하면 0=v0-gt1에서 최고점까지 올라가는 데 걸리는 시간 t1은 다음과 같다.
t1=v0/g
최고점 높이 (H) 최고점에서 속도 v=0이므로 -2gs = v^2-v0^2에 s=H, v=0을 대입하면 -2gH = 0-v0^2에서 최고점 높이 H는 다음과 같다.
H = v0^2/2g
2. 출발점(처음 위치) 도달 시간(t2)와 속도(v2) : 연직 상방으로 초속도 v0로 던져진 물체가 다시 처음 위치인 출발점에 도달하는 시간을 t2라고 하면 그때의 변위 s는 0이 되므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
s=v0t2 - 1/2gt2^2=0에서 t2!=0이므로 t2=2v0/g = 2t1
-2gs = v2^2-v0^2=0에서 v2=-v0
처음 위치로 되돌아오는 시간(t2)은 최고점 도달 시간(t1)의 2배이고, 이때의 속도는 초속도(v0)의 크기와 같고 방향은 반대가 된다.
최고점 도달 시간(t1)과 최고점에서 처음 위치인 출발점까지 낙하하는 데 걸린 시간은 같다.
3. 연직 투상 운동의 대칭성
최고점 높이까지 상승하는 운동(속도가 v0->0이 되는 운동)와 최고점에서 처음 위치까지 낙하하는 운동(속도가 0 -> v0가 되는 운동)는 대칭적이다.
최고점 높이(H)에 도달하는 시간(t1)과 최고점에서 낙하하여 처음 출발 위치에 도달하는 시간은 같다. 또 최고점에서 낙하 운동은 자유 낙하 운동이다.
임의의 높이에서 상승 속도와 낙하 속도는 크기가 같고 반대 방향이다.
어느 높이까지 올라가는 시간과 그 높이에서 처음 위치로 낙하하는 시간은 같다.
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