연직 운동

(1) 지구의 중력
지구상의 물체는 지구의 각 부분으로부터 만유인력을 받고 있으며, 이들의 합력이 물체가 지구로부터 받는 인력이다. 물체들 사이에 작용하는 만유인력만에 의한 가속도를 중력 가속도라고 한다.
지구 반지름을 R, 지구 질량을 M, 만유인력 상수를 G, 물체의 질량을 m, 중력 가속도를 g라고 하면 중력 가속도는 다음과 같다.
만유인력 = 중력, 즉 F = GMn/R^2 = mg
g = GM/R^2, GM = gR^2 = g'r^2 = 일정
지구 표면 근처의 물체에는 만유인력 외에도 지구 자전에 의한 원심력이 작용하고 있다. 이 두 힘의 합력이 물체에 작용하는 알짜힘, 즉 지구의 중력이다.

(2) 중력 가속도
공기의 저항과 지구 자전 효과를 무시하면 지표면 근처의 동일한 장소에서 낙하하는 물체는 물체의 질량, 모양, 크기 등에 관계없이 일정한 가속도가 생긴다. 이 가속도를 중력 가속도라 하고, g로 나타낸다.
g=9.8m/s^2

1. 중력 가속도는 연직 아래 방향, 즉 지구 중심을 향한다.
2. 지표면에서의 모든 낙하 운동은 등가속도 운동이다.
3. 물체에 작용하는 중력(무게) F=mg이다.
4. 중력 가속도는 장소에 따라 약간씩 다르나 평균 9.8m/s^2이다.
5. 중력 가속도 g값은 지구 자전에 의한 원심력의 영향과 지구 타원체에 의해 적도 지방이 가장 작고, 양 극지방으로 갈수록 커진다.

자유 낙하 운동
손에 들고 있는 물체를 가만히 놓아 떨어뜨릴 때와 같이 초속도 없이 중력에 의해 낙하하는 등가속도 직선 운동을 자유 낙하라고 한다.
공기의 저항을 무시하고 연직 방향으로 고도가 높지 않은 범위 내에서 중력 가속도 g는 일정하다고 볼 수 있으므로 자유 낙하 운동은 등가속도 직선 운동이 된다.

(1) 자유 낙하 운동 공식
자유 낙하 운동은 처음 위치를 원점으로 하고, 그 위치에서 연직 아랫방향을 (+) 방향으로 하면 v0=0, a=g인 등가속도 직선 운동이다.

1. 낙하거리 s만큼 자유 낙하하는 데 걸리는 시간 (t) : s-t 공식 s=1/2gt^2에서

t=sqrt(2s/g)

2. 변위 s만큼 자유 낙하한 물체의 속도 (v) : s-v 공식 2gs=v^2에서
v=sqrt(2gs)

(2) 자유 낙하 운동과 역학적 에너지 보존
물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 합을 역학적 에너지라고 한다. 일반적으로 마찰력이나 공기의 저항력이 무시될 때 물체의 운동 상태가 변하여도 물체가 가지고 있는 역학적 에너지는 서로 전환되지만 그 전체의 양은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 역학적 에너지 보존 법칙이라고 한다.
K1 + U1 = K2 + U2 = 일정
처음 역학적 에너지 = 나중 역학적 에너지

질량 m인 물체가 기준면으로 부터 높이 H인 곳에서 자유 낙하하는 경우를 생각해 보자.
높이 h1에서의 속도가 v1, 높이 h2에서의 속도가 v2일 때 등가속도 운동 공식 2as = v^2 - v0^2에 a=g이고, v=v2, v0=v1, s=h1-h2를 대입하면
2g(h1-h2) = v2^2-v1^2이 된다. 이 식의 양 변에 각각 1/2m을 곱하면
mg(h1-h2) = 1/2mv2^2 + mgh2 = 일정

따라서 역학적 에너지는 운동의 임의의 점에서 일정하게 보존됨을 알 수 있다.
물체가 높이 H에서 h1까지 자유 낙하할 때 낙하한 거리는 H-h1이므로 속도 v1은 2as = v^2-v0^2에 a=g, s=H-h1, v=v1, v0=0을 대입하면
v1=sqrt(2g(H-h1) 이 된다. 이것을 높이 h1에서의 역학적 에너지에 대입하면
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2m[sqrt(2g(H-h1))]^2 + mgh1 = mgH
이다. 즉, 높이 h1에서의 역학적 에너지는 처음의 역학적 에너지와 같다. 따라서 역학적 에너지는 높이에 관계없이 항상 같음을 알 수 있다.
1/2mv1^2 + mgh1 = 1/2mv2^2 + mgh2 = mgH = 1/2mV^2(=일정)
이 관계식은 마찰이 무시될 때 중력장 내의 모든 운동에 적용할 수 있다.

2. 자유 낙하 운동의 에너지 그래프 : 자유 낙하할 때 물체의 운동 에너지(K), 퍼텐셜 에너지(U), 역학적 에너지(E)의 낙하거리(h)와 낙하 시간(t)의 관계 그래프는 오른쪽과 같이 된다.

(3) 연직 방향으로 던져진 물체의 운동
1. 연직 아래로 던져진 물체의 운동(연직 투하 운동)
연직 아랫방향으로 초속도 v0로 던져진 물체에 작용하는 힘은 중력뿐이므로 중력 가속도 g로 등가속도 운동을 한다. 물체가 손을 떠날 때까지는 손에서 힘을 받아 가속되지만 물체가 초속도 v0로 손을 떠나면 그 후에는 손에서는 힘을 받지 않고 중력에 의해서만 가속된다.
시각 0인 원점에서 물체를 초속도 v0로 아래로 던진 후 시각 t에서의 물체의 속도 v와 낙하한 거리 s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=g를 대입하여 구한다.

(2) 연직 위로 던져 올린 물체의 운동(연직 투상 운동)
연직 위로 던져 올린 물체의 운동은 올라가면서 속력이 점점 감소하고, 최고 높이에서 속력이 0이 되었다가 낙하하면서 점점 증가한다.
연직 위로 초속도 v0로 던져진 물체는 운동하는 동안 연직 아래쪽으로 중력(F=mg)을 받는다. 따라서 물체는 연직 아랫방향(힘의 방향)의 가속도 g가 생기므로 매초 9.8m/s씩 속도가 감소한다.

즉, 초속도 v0과 중력 가속도 g의 방향이 반대이므로 초속도 방향을 (+)로 하면 물체는 가속도가 -g인 등가속도 직선 운동을 한다.
시각 0에서 물체를 초속도 v0로 던져 올렸다면 시각 t에서 물체의 속도 v와 변위(운동 거리) s는 등가속도 직선 운동 공식에 a=-g를 대입하여 구한다.

1. 최고점 도달 시간(t1)과 높이(H) : 연직 아래로 중력이 작용하므로 연직 위로 던져진 물체는 얼마 후 최고 높이에 도달하며, 그때 물체의 속도는 0이 된다. 즉, 운동 방향이 정반대로 변하는 순간의 속도는 0이 된다.

최고점 도달 시간(t1) 최고점에서 속도 v=0이므로 v=v0-gt를 이용하면 0=v0-gt1에서 최고점까지 올라가는 데 걸리는 시간 t1은 다음과 같다.
t1=v0/g

최고점 높이 (H) 최고점에서 속도 v=0이므로 -2gs = v^2-v0^2에 s=H, v=0을 대입하면 -2gH = 0-v0^2에서 최고점 높이 H는 다음과 같다.

H = v0^2/2g

2. 출발점(처음 위치) 도달 시간(t2)와 속도(v2) : 연직 상방으로 초속도 v0로 던져진 물체가 다시 처음 위치인 출발점에 도달하는 시간을 t2라고 하면 그때의 변위 s는 0이 되므로 다음과 같은 관계가 성립한다.

s=v0t2 - 1/2gt2^2=0에서 t2!=0이므로 t2=2v0/g = 2t1

-2gs = v2^2-v0^2=0에서 v2=-v0

처음 위치로 되돌아오는 시간(t2)은 최고점 도달 시간(t1)의 2배이고, 이때의 속도는 초속도(v0)의 크기와 같고 방향은 반대가 된다.
최고점 도달 시간(t1)과 최고점에서 처음 위치인 출발점까지 낙하하는 데 걸린 시간은 같다.

3. 연직 투상 운동의 대칭성
최고점 높이까지 상승하는 운동(속도가 v0->0이 되는 운동)와 최고점에서 처음 위치까지 낙하하는 운동(속도가 0 -> v0가 되는 운동)는 대칭적이다.

최고점 높이(H)에 도달하는 시간(t1)과 최고점에서 낙하하여 처음 출발 위치에 도달하는 시간은 같다. 또 최고점에서 낙하 운동은 자유 낙하 운동이다.

임의의 높이에서 상승 속도와 낙하 속도는 크기가 같고 반대 방향이다.
어느 높이까지 올라가는 시간과 그 높이에서 처음 위치로 낙하하는 시간은 같다.