등가속도 운동

가속도
우리 주변에서 보는 물체의 운동은 속력과 방향이 일정한 운동(등속도 운동)보다는 대부분 속력과 방향이 변하는 운동이다. 예를 들어 자동차로 한 장소에서 다른 장소로 이동할 때 모든 구간에서 등속도로 달릴 수는 없다. 가속 페달을 밟을 때에는 자동차의 속도가 증가하고, 브레이크 페달을 밟을 때에는 자동차의 속도가 감소한다. 또 굽은 도로에서 방향을 바꿀 때에도 속도는 변한다. 이와 같이 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때 그 물체는 가속도 운동을 한다고 한다.
(1) 가속도
단위 시간동안 속도의 변화량을 가속도라고 한다. 물체가 직선상에서 운동할 때 처음 속도를 V0, 시간 t 후의 나중 속도를 v라고 하면 가속도 a는 다음과 같다.
가속도 = 속도 변화량/걸린 시간 = 나중 속도 - 처음 속도/걸린 시간

a=V-V0/t 나중 속도 V=V0+at

1. 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터양이며, 방향은 속도 변화량의 방향과 같다.
2. (+) 가속도일 때 물체의 속력은 증가하고, (-) 가속도일때 속력은 감소한다.
3. 곡선 운동은 시시각각 운동 방향이 달라지므로 항상 속도가 변하며 가속도 운동을 한다. 이때 가속도의 정의는 직선 운동에서와 같다.

(2) 속도 변화량
물체의 속도가 시간에 따라 변하는 경우 물체의 운동은 가속도 운동이다. 시간 t 동안에 속도가 V1에서 V2로 변하였다면 시간 t 동안의 속도 변화량 Δv는 나중 속도(V2)에서 처음 속도(V1)를 뺀 값이다.
ΔV = V2 - V1
속도는 벡터양이므로 ΔV = V2 - V1의 계산은 벡터적으로 한다. 평면의 경우 평행사변형법으로 하고, 직선 운동의 경우 V1 방향을 (+)로 하여 V2의 부호를 정한다.

평균 가속도와 순간 가속도
직선 운동하는 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때 속도 - 시간 그래프가 오른쪽과 같다면
(1) 평균 가속도
시각 t1에서의 속도가 V1이고, 시각 t2에서의 속도가 V2로 되었다면 시간 Δt 동안 속도 변화량은 ΔV이므로 이 시간 동안에 평균 가속도 a평은
a평 = ΔV/Δt = (V2 - V1) / (t2 - t1) = BC / AC
이고, 이것은 속도 - 시간 그래프에서 직선 AB의 기울기와 같다. 이와 같이 어느 일정한 시간 동안 변한 속도를 걸린 시간으로 나눈 것을 평균 가속도라고 한다.
(2) 순간 가속도
시간 Δt를 매우 짧게 하면 그 동안의 속도 변화량도 매우 작아진다. 이때의 가속도 a는
a = ΔV/Δt = CD/AC
이고, 이것은 시각 t1에서의 순간 가속도이다.
시각 t1에서 순간 가속도는 A점에서 접선의 기울기와 같다.

공간상에서의 가속도 운동
평면이나 공산상에서 곡선 운동하는 물체는 운동 방향이 시시각각으로 변하므로 속도가 변하는 가속도 운동을 한다.
곡선 운동에서의 가속도는 직선 운동에서의 정의와 같이 단위 시간에 따른 속도 변화량으로 구한다.
(1) 곡선 운동에서의 속도 변화량
물체가 지점 P에서 Q까지 운동하였을 때 속도 변화량 ΔV는 속도 벡터 V1, V2의 출발점을 임의의 점 O에 평행 이동시켜 그리면, 처음 속도 V1의 화살 머리에서 나중 속도 V2의 화살 머리로 그은 선분과 방향이 된다.
속도 변화량 = 나중 속도 - 처음 속도
ΔV = V2-V1(벡터 계산)
(2) 곡선 운동에서의 가속도
시각 t1일때 순간 속도가 V1인 물체가 가속도 운동을 하여 시각 t2일 때 순간 속도가 V2로 되었다면 이 물체의 가속도 a는
a=(V2-V1) / (t2-t1) = ΔV / Δt
이며, 방향은 ΔV와 같다.

호도 그래프
그림에서 화살 앞머리 Q의 변위 Q0Q1은 처음 운동의 속도 변화 ΔV를 의미한다. 이와 같이 곡선 경로 위의 각 점 P0, P1, P2... 에서의 속도 벡터 V0, V1, V2...의 출발점을 어떤 점 O에 평행 이동시켰을 때 벡터의 앞머리 끝을 연결한 선 Q0Q1, Q1Q2, Q2Q3 ...를 이 운동의 호도 그래프 또는 속도 그림이라고 한다.

등가속도 직선 운동
직선상에서 일정한 가속도 a로 움직이는 물체의 운동을 등가속도 직선 운동이라고 한다.
등가속도 직선 운동은 물체의 가속도가 일정하므로 속도는 일정하게 증가하거나 감소하며, 평균 가속도와 순간 가속도는 같다.
(1) 등가속도 직선 운동의 공식
처음 속도를 V0, 나중 속도를 v, 가속도를 a, 시간을 t라고 하면
1. 속도와 시간의 관계 : 처음 속도(초속도)가 V0인 어떤 물체가 일정한 가속도 a로 직선 운동을 하면 t초 후에는 물체의 속도가 at만큼 변한다. 따라서 t초 후의 속도 v는 처음 속도 V0에 변화된 속도 at를 합한 것이 된다. 이것은 가속도의 정의에서도 구할 수 있다.
a = V-V0/t V=V0 + at
2. 변위와 시간의 관계 : 어떤 시각에서 Δt 동안 속도가 v'으로 일정하다면 그래프 (가)에서 진한 부분의 직사각형 넓이에 해당하는 v'Δt는 Δt 동안에 물체가 이동한 거리, 즉 변위를 나타낸다.
따라서 시간 t 동안 변위 s는 작은 직사각형들의 넓이들을 모두 합한 것이 되며, 이것은 그래프 (나)와 같이 v-t 그래프의 직선 아래 넓이, 즉 사다리꼴의 넓이가 된다.
s = 1/2(V0+V)t = 1/2(V0 + V0 + at)t     s=V0t + 1/2at^2
3. 변위가 속도의 관계 : 변위 식에 t=V-V0/a 를 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
2as = v^2 - V0^2
(2) 등가속도 운동의 그래프
1. 가속도가 (+)일 때 등가속도 직선 운동의 그래프 : 힘의 방향과 물체의 운동 방향이 같은 경우로 속력이 점점 증가한다.
2. 가속도가 (-)일 때 등가속도 직선 운동의 그래프 : 힘의 방향과 물체의 운동 방향이 반대일 경우로 속도가 감소하다가 결국 정지한다. 정지해서도 힘이 계속 작용하면 물체가 처음과 반대 방향으로 진행한다.