포물선 운동(projectile motion)은 수평 방향(x축) 운동과 연직 방향(y축) 운동으로 분해하여 생각할 수 있다. 이때 각 방향의 힘(분력)이 그 방향의 운동에 관계하므로 포물선 운동은 서로 독립된 직선 운동을동시에 하고 있는 것과 같은 모양이 된다.
공기 저항을 무시하면 포물선 운동하는 물체는 수평 방향(x축)으로는 힘을 받지 않으므로 수평 방향의 가속도는 0이다. 따라서 수평 방향의 속도는 변하지 않고 등속 직선 운동(등속도 운동)을 한다. 연직 방향(y축)으로는 중력만을 받으므로 연직 아랫 방향의 가속도 g(중력 가속도)인 등가속도 직선 운동을 한다.
(2) 수평 방향으로 던져진 물체의 운동
수평 방향으로 던져진 물체는 수평 방향으로는 등속 직선 운동(등속도 운동)을 하고, 연직 방향으로는 자유 낙하 운동(등가속도 운동)을 한다.
1. 물체에 작용하는 힘과 운동의 해석
수평으로 초속도 v0로 던져진 물체는 수평 방향으로는 힘을 받지 않고, 연직 아랫방향으로만 중력 F=mg를 받는다.
2. 시간 t초 후의 속도(v)
수평 방향(x축)은 등속도 운동이고, 연직 방향(y축)은 자유 낙하 운동이다.
시간 t초 후 물체의 속도 v의 x 성분과 y 성분을 각각 vx, vy라고 하면
vx=v0 (등속도 운동), vy=gt(자유 낙하 운동)
이다. 따라서 t초 후의 속도 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v = sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + (gt)^2), 방향 : tanθ = vy/vx = gt/v0
3. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후의 위치 x, y는 다음과 같다.
등속도 운동 : x=v0t, 자유 낙하 운동 : y=1/2gt^2
4. 운동 경로의 식 | 위 두 식에서 시간 t를 소거하면 경로의 식은 다음과 같다.
y=1/2g(x/v0)^2=gx^2/2v0^2
5. 지면 도달 시간(t) | 자유 낙하하는 시간과 같다.
h=1/2gt^2에서 t=sqrt(2h/g)
6. 수평 도달 거리(R) | 낙하 시간 t 동안 등속도 운동을 하므로 수평 도달 거리 R는 다음과 같다.
R=v0t=v0*sqrt(2h/g)
7. 지면 도달 속도(v) | 지면 도달 속도 v의 수평 성분은 vx=v0이고, 연직 성분은 vy = gt = sqrt(2gh)이므로 지면 도달 속도 v는 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + 2gh) 방향 : tanθ = vy/vx = sqrt(2gh)/v0
(3) 비스듬히 위로 던져 올린 물체의 운동
수평면과 각 θ를 이룬 방향으로 초속도 v0로 던져 올린 물체는 공기 저항을 무시할 때 수평 방향으로는 힘을 받지 않고 연직 방향으로만 중력을 받는다.
따라서 이러한 포물선 운동은 수평 방향으로는 등속도 운동으로, 연직 방향으로는 연직 투상 운동으로 해석하면 된다.
1. 시간 t초 후의 속도(v) | 시간 t초 후 물체의 속도 v의 수평 성분 vx와 연직 성분 vy는 다음과 같다.
vx=v0x=v0cosθ(등속도 운동)
vy=v0y-gt=v0sinθ-gt(연직 투상 운동)
속도 v와 수평 방향이 이루는 각을 파이라고 하면 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) 방향 : tanΦ=vy/vx=v0sinθ-gt/v0cosθ
2. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후 물체의 위치는 출발점을 원점으로 할 때 좌표 (x, y)로 표시한다.
x=v0cosθt
y=v0yt-1/2gt^2=v0sinθt-1/2gt^2
3. 운동 경로의 식 | 위의 두 식에서 t를 소거하여 운동 경로의 식을 구한다.
y=tanθx - gx^2/2v0^2cos^2θ
4. 포물선 운동의 최고점 | 비스듬히 던져 올린 물체가 최고점에 도달하면 물체의 속도는 수평 방향 성분이 v0cosθ이고, 연직 방향의 성분은 0이 된다. 따라서 최고점의 높이와 소요 시간 등을 구할 때에는 그 점에서 연직 방향의 상승 속도가 0이므로 y 방향의 운동 공식에 vy=0을 대입하여 구한다.
크기 : v=vx=v0x=v0cosθ
최고점 도달 시간 : 최고점 도달 시간은 vy=0일 때의 시간이므로 vy=v0sinθ-gt에서 구한다.
최고점 높이 : 연직 방향의 초속도 v0y = v0sinθ이고 최고점에서 vy=0이므로 -2gy = vy^2-v0y^2
최고점까지의 수평 거리 : 수평 방향으로는 초속도 v0cosθ로 등속도 운동을 한다
(4) 포물선 운동과 역학적 에너지 보존 법칙
자유 낙하시킨 물체뿐만 아니라 공중으로 던져 올린 물체는 공기 저항력을 무시하면 중력만 받으면서 운동하므로 역학적 에너지 보존 법칙이 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 질량 m인 물체가 초속도 v0로 지면(O점)에서 비스듬히 윗방향으로 던져 올려졌을 때 O점에서 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는
퍼텐셜 에너지 U0=0, 운동 에너지 K0=1/2mv0^2
이다. 따라서 O점에서 물체의 역학적 에너지 E0는
E0 = K0 + U0 = 1/2mv0^2
인데, 초속도 v0를 수평 성분 v0x와 연직 성분 v0y로 분해하면 E0는
E0 = 1/2mv0^2 = 1/2m(v0x^2 + v0y^2)
이다. 이때 임의의 높이 y인 P점에서 물체의 속도가 v이면 역학적 에너지 E는
E=U+K=mgy+1/2mv^2 = mgy + 1/2mvx^2 + 1/2mvy^2
=mgy+1/2mv0x^2 + 1/2m(v0y^2 - 2gy)
=1/2mv0x^2 + 1/2mv0y^2 = 1/2mv0^2
가 되어 던져 올릴 때의 역학적 에너지 E0와 같게 된다. 이로부터 포물선 운동에서 운동 중의 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총합은 일정하게 보존된다는 것을 알 수 있다.
또한 마찰이 없는 곡면을 따라 운동하는 물체의 경우에도 항상 역학적 에너지가 일정하게 보존된다. 따라서 마찰이나 저항이 무시되는 경우 중력장에서 물체의 운동은 역학적 에너지 보존 법칙으로 해석하면 쉽게 이해된다.
3. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후의 위치 x, y는 다음과 같다.
등속도 운동 : x=v0t, 자유 낙하 운동 : y=1/2gt^2
4. 운동 경로의 식 | 위 두 식에서 시간 t를 소거하면 경로의 식은 다음과 같다.
y=1/2g(x/v0)^2=gx^2/2v0^2
5. 지면 도달 시간(t) | 자유 낙하하는 시간과 같다.
h=1/2gt^2에서 t=sqrt(2h/g)
6. 수평 도달 거리(R) | 낙하 시간 t 동안 등속도 운동을 하므로 수평 도달 거리 R는 다음과 같다.
R=v0t=v0*sqrt(2h/g)
7. 지면 도달 속도(v) | 지면 도달 속도 v의 수평 성분은 vx=v0이고, 연직 성분은 vy = gt = sqrt(2gh)이므로 지면 도달 속도 v는 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + 2gh) 방향 : tanθ = vy/vx = sqrt(2gh)/v0
(3) 비스듬히 위로 던져 올린 물체의 운동
수평면과 각 θ를 이룬 방향으로 초속도 v0로 던져 올린 물체는 공기 저항을 무시할 때 수평 방향으로는 힘을 받지 않고 연직 방향으로만 중력을 받는다.
따라서 이러한 포물선 운동은 수평 방향으로는 등속도 운동으로, 연직 방향으로는 연직 투상 운동으로 해석하면 된다.
1. 시간 t초 후의 속도(v) | 시간 t초 후 물체의 속도 v의 수평 성분 vx와 연직 성분 vy는 다음과 같다.
vx=v0x=v0cosθ(등속도 운동)
vy=v0y-gt=v0sinθ-gt(연직 투상 운동)
속도 v와 수평 방향이 이루는 각을 파이라고 하면 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) 방향 : tanΦ=vy/vx=v0sinθ-gt/v0cosθ
2. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후 물체의 위치는 출발점을 원점으로 할 때 좌표 (x, y)로 표시한다.
x=v0cosθt
y=v0yt-1/2gt^2=v0sinθt-1/2gt^2
3. 운동 경로의 식 | 위의 두 식에서 t를 소거하여 운동 경로의 식을 구한다.
y=tanθx - gx^2/2v0^2cos^2θ
4. 포물선 운동의 최고점 | 비스듬히 던져 올린 물체가 최고점에 도달하면 물체의 속도는 수평 방향 성분이 v0cosθ이고, 연직 방향의 성분은 0이 된다. 따라서 최고점의 높이와 소요 시간 등을 구할 때에는 그 점에서 연직 방향의 상승 속도가 0이므로 y 방향의 운동 공식에 vy=0을 대입하여 구한다.
크기 : v=vx=v0x=v0cosθ
최고점 도달 시간 : 최고점 도달 시간은 vy=0일 때의 시간이므로 vy=v0sinθ-gt에서 구한다.
최고점 높이 : 연직 방향의 초속도 v0y = v0sinθ이고 최고점에서 vy=0이므로 -2gy = vy^2-v0y^2
최고점까지의 수평 거리 : 수평 방향으로는 초속도 v0cosθ로 등속도 운동을 한다
(4) 포물선 운동과 역학적 에너지 보존 법칙
자유 낙하시킨 물체뿐만 아니라 공중으로 던져 올린 물체는 공기 저항력을 무시하면 중력만 받으면서 운동하므로 역학적 에너지 보존 법칙이 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 질량 m인 물체가 초속도 v0로 지면(O점)에서 비스듬히 윗방향으로 던져 올려졌을 때 O점에서 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는
퍼텐셜 에너지 U0=0, 운동 에너지 K0=1/2mv0^2
이다. 따라서 O점에서 물체의 역학적 에너지 E0는
E0 = K0 + U0 = 1/2mv0^2
인데, 초속도 v0를 수평 성분 v0x와 연직 성분 v0y로 분해하면 E0는
E0 = 1/2mv0^2 = 1/2m(v0x^2 + v0y^2)
이다. 이때 임의의 높이 y인 P점에서 물체의 속도가 v이면 역학적 에너지 E는
E=U+K=mgy+1/2mv^2 = mgy + 1/2mvx^2 + 1/2mvy^2
=mgy+1/2mv0x^2 + 1/2m(v0y^2 - 2gy)
=1/2mv0x^2 + 1/2mv0y^2 = 1/2mv0^2
가 되어 던져 올릴 때의 역학적 에너지 E0와 같게 된다. 이로부터 포물선 운동에서 운동 중의 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총합은 일정하게 보존된다는 것을 알 수 있다.
또한 마찰이 없는 곡면을 따라 운동하는 물체의 경우에도 항상 역학적 에너지가 일정하게 보존된다. 따라서 마찰이나 저항이 무시되는 경우 중력장에서 물체의 운동은 역학적 에너지 보존 법칙으로 해석하면 쉽게 이해된다.
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