원운동

원운동하는 놀이기구나 회전하는 선풍기 날개의 한 점을 보면 원을 그리면서 일정한 속력으로 회전하는 것을 볼 수 있다. 이와 같이 물체가 반지름이 일정한 원둘레상을 일정한 속력으로 돌고 있는 운동을 등속 원운동이라고 한다.

1. 주기
물체가 원둘레상을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 주기라 하고, T로 표시한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 속력 v로 등속 원운동할 때 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v

2. 진동수
단위 시간 동안에 물체가 회전하는 횟수를 진동수라 하고, f나 v로 표시하며, 단위를 Hz를 사용한다. 진동수 f와 주기 T는 다음의 관계가 성립한다.
f=1/T, 1Hz = 1s^-1

3. 등속 원운동의 속력
물체가 등속 원운동을 할 때 물체의 속력은 일정하지만 물체의 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변하므로 속도 v는 일정하지 않고 계속 변한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 한 바퀴 도는 데 T초가 걸렸다면 물체의 속력 v는 다음과 같다.

v=2πr/T

4. 각속도
원운동하는 물체가 단위 시간 동안 회전한 중심각을 각속도라 하고, ω의 기호로 표시하며, 단위는 rad/s를 사용한다.

시간 t(s) 동안에 각 Θ만큼 회전하였다면 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t(rad/s) Θ=ωt(rad)

이 물체는 주기 T(s) 동안에 360, 즉 2π(rad)를 회전하므로 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t=2π/T(rad/s)

속력 v로 등속 원운동하는 물체가 t초 동안에 각 Θ(rad)만큼 회전하면 원둘레상을 운동한 거리 s(호의 길이)는 다음과 같다.
s=vt=rΘ

접선 방향의 속도 v와 각속도 ω의 관계는 v=2πr/T와 ω=2π/T에서
v=rω(m/s)이고, 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v=2π/ω=1/f(초)

(2) 구심 가속도
등속 원운동하는 물체는 속력이 일정하지만 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변한다.
따라서 등속 원운동은 시간에 따라 속도가 계속 변하는 가속도 운동이다.
등속 원운동하는 물체가 짧은 시간 Δt초 동안 점 P에서 Q로 이동하였다면 속도 변화량 Δv=v2-v1이다. 즉, 속도 v1, v2를 평행 이동 시켜 출발점 (C)을 일치하도록 하여 삼각형 ABC를 그리면 AB가 속도 변화량 Δv이다.
그림 (가)와 (나)에서 삼각형 PQO와 삼각형 ABC를 비교해 보면 중심각 POQ = ACB = Θ이고, 선분 OP=OQ=r, AC=BC=v이므로 삼각형 POQ (닮음) 삼각형 ACB가 된다.
두 삼각형의 닮음비에서 다음과 같은 식을 얻는다.
PQ/r=Δv/v
Δt를 매우 짧게 하면 호 PQ는 현 PQ와 같아지고, PQ = vΔt가 되므로 vΔt/r=|Δv|/v가 된다.
따라서 가속도 a의 크기는 a=|Δv|/Δt = v^2/r = rω^2 = 4π^2r/T^2 = vω(m/s^2)
이 된다. 또 가속도 a의 방향은 Δv의 방향과 같고, ΔΘ를 매우 작게 하면 Δv는 v1과 거의 직각을 이루게 되어 가속도의 방향은 원의 중심을 향한다. 따라서 등속 원운동에서의 가속도는 항상 원의 중심을 향하므로 구심 가속도라고 한다.
구심 가속도 a는 원의 중심을 향하고, 그 크기는 다음과 같다.
a=v^2/r=rω^2=4π^2r/T^2
구심 가속도의 크기는 일정하지만 가속도의 방향이 계속 변하므로 등가속도 운동은 아니다.

(3) 구심력
등속 원운동하는 물체는 그 속력이 일정하여도 원운동의 중심을 향하는 가속도가 필요하므로 이 가속도를 생기게 하는 중심 방향의 힘이 물체에 작용해야 한다. 이 힘은 가속도와 같이 항상 원의 중심을 향하므로 구심력이라고 한다.
구심력의 방향은 가속도의 방향, 즉 원의 중심 방향이고, 반지름 r인 원궤도를 도는 질량 m인 물체에 작용하는 구심력 F는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 다음과 같다.
F=ma=mv^2/r=mrω^2=4π^2mr/T^2 (ω=2π/T)

1. 일정한 크기의 힘이 항상 운동 방향에 수직한 방향으로 작용하면 이 힘이 구심력이 되어 물체는 등속 원운동을 하게 된다. 구심력의 방향은 항상 변하므로 크기는 일정해도 힘은 일정한 것이 아니다.

2. 구심력의 역할을 하는 힘
(1) 실의 장력 : 실에 매단 돌이 원운동할 때에는 실의 장력이 구심력이 된다.
(2) 마찰력 : 회전하는 원판 위의 물체나 수평면에서 자동차가 원운동할 때 지면과 타이어 사이의 마찰력이 구심력의 역할을 한다.
(3) 만유인력 : 지구나 그 밖의 행성이 태양 주위를 공전할 때 또는 인공위성이 지구 주위를 돌 때 만유인력이 구심력의 역할을 한다.
(4) 정전기력 : 원자핵 주위를 도는 전자의 운동은 전기력이 구심력의 역할을 한다.