운동량 보존

(1) 운동량과 충격량
1. 운동량
물체가 운동하고 있을 때 물체가 갖고 있는 운동 상태의 관성에 해당하는 양을 운동량이라고 한다. 따라서 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 물체는 운동 에너지(K=1/2mv^2)와 운동량 p를 가준다.
p=mv(kgm/s)
①운동량은 속도 v와 같은 방향을 갖는 벡터양이다.
②운동량 변화는 물체에 힘을 얼마나 오랜 시간 동안 작용했는가에 따라 정해진다.
③운동량 변화량 Δp는 나중 운동량 mv에서 처음 운동량 mv0을 뺀 값이다.
Δp=mv-mv0 (벡터 뺄셈)
④평면상에서의 운동량 변화량 : Δp=mv-mv0 (평행사변형법을 이용)
⑤운동하고 있는 물체가 충격량 FΔt를 받아 운동 방향이 변하는 경우 Δp=mv-mv0=p-p0이고, 크기는 다음과 같다.
|Δp| = sqrt(p0^2 + p^2 -2pp0cosΘ)
처음 운동량 p0와 나중 운동량 p의 크기가 같을 때(|p0| = |p| = mv)
Θ=60일때 Δp=mv             Θ=90일때 Δp=sqrt(2)mv
Θ=120일때 Δp=sqrt(3)mv   Θ=180일때 Δp=2mv

2. 충격량
충격량은 운동량과 같이 운동하고 있는 물체가 갖는 양이 아니라 물체들이 충돌과 같이 상호 작용할 때 한물체가 다른 물체에 줄 수 있는 양이다. 어떤 시간 t 동안에 물체에 주어진 힘 F의 총량, 즉 F와 시간 t의 곱 Ft를 충격량이라고 한다.
I=Ft(Ns)
충격량은 벡터양이고, 그 방향은 힘 F의 방향과 같다.

(2) 충격량-운동량 정리
평면상에서 속도 v0로 운동하고 있는 질량 m인 물체에 일정한 힘 F가 시간 t 동안 작용하여 속도가 v로 변하였다면 가속도 a=v-v0/t이므로 운동 방정식 F=ma에 대입하여 정리하면 다음의 관계가 성립한다.
Ft=mv-mv0
따라서 물체에 주어진 충격량은 운동량 변화량과 같음을 알 수 있다. 이것을 충격량-운동량 정리라고 한다.

(3) 충격력
오른쪽 그림과 같이 골프채와 단단한 골프공이 충돌할 때 충돌하는 도중에 공은 크게 변형이 진행되고 있다. 이와 같이 충돌하는 두 물체 사이에는 상대적으로 강한 힘이 짧은 시간 동안 작용한다. 이때 힘의 크기는 측정하기 어려우나 힘에 의한 총 충격량은 운동량 변화량을 측정하여 구할 수 있다.
짧은 시간만 작용하고 충격량 값밖에는 알 수 없는 큰 힘을 충격력이라고 한다. Δt 동안에 운동량이 Δmv만큼 변했다면 힘 F는
F=Δmv/Δt = Δp/Δt 이다. 즉, 힘은 운동량의 시간적 변화율이다.

1. 물체에 작용하는 힘이 일정할 때 작용 시간이 길어지면 운동량 변화량도 비례하여 커진다. → Δp∝Δt (F=일정)
2. 그림 (가), (나)와 같이 운동량 변화량이 일정할 때 작용 시간이 짧을수록 물체에 작용하는 힘은 커진다. → F∝1/Δt (Δp=일정)

(4) 운동량 보존 법칙
일직선상을 운동하는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A와 질량 m2, 속도 v2인 물체 B가 충돌하여 짧은 시간 후에 물체 A는 v1', B는 v2'으로 되었다. 이때 접촉하였다가 떨어질 때까지의 시간을 Δt, 이 동안에 물체 A가 B에 가하는 평균 힘을 F라고 하면 작용 반작용 법칙의 의해 물체 B가 A에 가하는 힘은 -F가 된다.
따라서 물체 B가 A로부터 받은 충격량을 FΔt라고 하면 물체 A가 B로부터 받은 충격량은 -FΔt가 되고, 충격량-운동량 정리에서
A : -FΔt = m1v1'-m1v1 B : FΔt = m2v2' - m2v2
이다. 위 두 식을 더해서 정리하면
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
(충돌 전 운동량 합)      (충돌 후 운동량 합)
이다. 즉, 물체가 분열, 융합, 충돌할 때와 같이 물체들 사이에 서로 힘(내력)이 작용하여 속도가 변하더라도 외력이 작용하지 않으면 힘의 작용 전후의 운동량 총합은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 운동량 보존 법칙이라고 한다.

1. 운동량 보존 법칙
두 물체가 충돌하는 경우, 두 물체가 한 물체계로 합쳐지며 융합하는 경우, 한 물체가 두 개 이상의 물체로 분열하는 경우 및 총알이 물체를 관통하는 경우와 같이 매우 짧은 시간에 서로 힘을 작용하는 순간적인 현상에서 성립한다.
① 운동량은 벡터량이므로 운동량 합성은 벡터 합성으로 한다.
② 내력 : 충돌이나 분열일 때 두 물체 사이에 작용하는 내력은 충격력으로서 매우 크고 작용 시간이 매우 짧다. 이와 같은 경우에 내력의 충격량에 비하여 외력의 충격량이 무시 될 정도이면 운동량 보존 법칙이 성립한다.

2. 분열 또는 융합하는 경우
물체가 분열 또는 융합할 때 운동량 보존 법칙에 의해 다음 관계가 성립한다.
분열 : 0-mv-MV V/v=m/M
융합 : mv=(m+M)V V/v=m/m+M