관성력

1. 좌표계의 종류

물체의 위치와 운동을 명확하기 기술하기 위해 사용하는 좌표계는 관측자에게 편리하도록 임의로 잡을 수 있다. 따라서 같은 상황을 기술하는 데에 있어서 관측자마다 자기에게 편리한 좌표계를 도입할 수 있다. 실질적으로 같은 물리적 상황을 겉보기에는 다르게 기술할 수 있지만 실제 물리 법칙은 동일하게 작용해야 한다.

가. 관성좌표계와 비관성좌표계(가속좌표계)

관성좌표계란 관측자나 관측자가 속한 계가 정지해 있거나 등속도 운동을 하는 경우로 뉴턴 의 운동법칙이 성립한다. 지구의 자전과 공전 효과를 무시한다면 지표면에 정지해 있는 관측자를 관성좌표계로 볼 수 있다.

비관성좌표계(가속좌표계, 이하 가속좌표계)란 관측자나 관측자가 속한 계가 가속도 운동을 하는 경우로 단순히 뉴턴의 운동법칙을 적용할 수 없다. 따라서 가짜힘(관성력)을 도입하여 설명해야 한다.

2. 관성력과 겉보기 무게

정지해 있는 엘리베이터 속에 질량이 m인 사람이 저울 위에 가만히 서 있다고 하자. 이 때 엘리베이터가 일정한 가속도 a로 아랫방향으로 운동하면 저울의 눈금이 ma만큼 작아진다. 이에 대한 관성좌표계에서와 가속좌표계에서의 해석은 다음과 같다.

 

1) 관성 좌표계(지면에 있는 관측자)의 해석 :

사람은 엘리베이터와 함께 의 가속도로 아랫방향으로 운동한다. 사람에게 작용하는 힘은 중력 mg과 저울이 떠 받치는 힘N(수직항력) 이다. 따라서 뉴턴의 운동방정식을 적용하면

이다.

따라서 저울의 눈금이 실제 무게 mg보다 ma만큼 감소한다.

2) 가속 좌표계(엘리베이터 속의 관측자)의 해석 :

 

사람에게 작용하는 힘은 중력 mg과 수직항력 N, 그리고 가상의 힘 F'이 평형을 이루어 관측자에게는 정지해 있는 것처럼 보인다.

따라서 저울이 떠 받치는 힘(수직항력) N은

가 되며, 가상의 힘 F'는 F'=ma의 값을 가져야 한다. 

이처럼 가속좌표계의 관측자에게는 관측자의 가속도의 방향과 반대 방향으로 가상의 힘이 작용하고 있는 것처럼 보인다. 이 가상의 힘을 관성력이라 하고 다음과 같다.

관성력

1) 실제 무게 지구와 물체 사이에 작용하는 만유인력의 크기와 같다. 이 식에서 무게는 오직 물체의 질량과 지구 중심과의 거리에 의해서만 결정되는 값이다. 만일 지표면에서라면 r=R(지구반지름) 이므로 으로 표현할 수 있다. 2) 겉보기 무게 저울로 측정된 값으로 관성좌표계(정지상태, 혹은 등속도운동 상태)에서 측정된 값은 실제 무게와 같으나 가속좌표계(가속되는 엘리베이터)에서는 실제 무게와 다르다. 3) 가속되는 경우 저울이 읽는 눈금은 mg일까? N일까? - N이다. 지구가 물체를 잡아당기는 힘(중력) 때문에 물체는 저울을 누르게 되고, 반작용으로 저울은 같은 크기의 힘(수직항력)으로 물체를 떠받치게 된다. 정지한 상태에서는 중력, 물체가 저울을 누르는 힘, 수직항력의 크기는 서로 같지만 가속되는 상태에서는 중력의 크기와 수직항력의 크기는 같지 않다. 하지만 물체가 저울을 누르는 힘과 수직항력은 작용반작용으로 크기가 서로 같기 때문에 저울이 읽은 값은 N이다.

3. 관성력과 무중력 상태

엘리베이터가 자유 낙하하는 경우를 생각해 보자. 이 때 저울의 눈금은 0이 된다. 이에 대한 관성좌표계에서와 가속좌표계에서의 해석은 다음과 같다.

1) 관성 좌표계(지면에 있는 관측자)의 해석 :

사람과 저울이 엘리베이터와 같은 중력가속도 g로 떨어지고 있어 사람은 저울을 누를 수가 없고 이 때문에 저울의 눈금이 0이 된다.

2) 가속 좌표계(엘리베이터 속의 관측자)의 해석 :

중력이 작용하고 있음에도 불구하고 합력이 0이므로, 중력 mg과 크기는 같고 방향이 반대인 가상의 힘, 관성력이 있어야만 이 사실을 설명할 수 있다.

엘리베이터 속의 관측자의 겉보기 무게 w'는 = 중력 - 관성력 = mg-mg가 되어 겉보기 무게는 0이 된다.

3) 무중력과 무중량 : 무중력은 주변에 중력을 작용하는 물체가 존재하지 않아 실제 무게가 0인 경우이고, 무중량은 무게를 느끼지 못하는 상태, 즉 겉보기 무게가 0인 경우이다. 보통 우리가 어딘가에 서 있거나 앉아 있는 경우, 우리 몸에는 중력과 수직항력이 함께 작용하게 된다. 중력은 아래쪽으로 잡아당기는 힘이고 수직항력은 위로 밀어 올리는 힘이기 때문에, 우리 몸은 서로 반대 방향의 힘을 동시에 받는 셈이다. 따라서 몸이 찌그러지는 느낌을 받게 된다. 이런 현상에 익숙해 있는 우리에게 바닥이 제거되어 수직항력이 사라지게 되면 오직 중력만이 작용하여 낙하하게 되는데 이 때를 무중력상태라고 말하는 것이다.

평면상 충돌

평면상 충돌과 운동량 보존
매끄러운 수평면 위를 운동하고 있는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A가 정지하고 있는 질량 m2인 물체 B에 비스듬히 충돌하여 속도가 A는 v1', B는 v2'로 되었다고 하자. 이때 충격량 - 운동량 정리에서
A:FΔt=m1v1'-m1v1
B:-FΔt=m2v2'-m2v2 (m2v2=0)
m1v1+m2v2 = m1v1'+m2v2'
이며, 이 식은 평면상에서의 충돌에서도 충돌 전후에 운동량이 보존된다는 것을 보여 준다.
(1) 평면 또는 공간상에서의 운동량을 벡터적으로 구할 때 평행사변형법으로 구할 수 있다.
(2) 운동량을 직교하는 x, y 방향으로 분해할 때 각 방향으로의 운동량 보존 관계가 성립한다.
x방향 운동량 보존 : m1v1+0=m1v1'cosa + m2v2'cosB
y방향 운동량 보존 : 0=m1v1'sina-m2v2'sinB
(3)포탄이 떨어지다가 폭발하여 두 조각이 나는 경우에 포탄 조각의 운동량의 벡터합은 원래 포탄의 운동량과 같다.
불꽃놀이에서 최고점에 도달한 폭죽은 순간적으로 정지 상태에 있게 된다. 폭발에 의해 흩어지는 불꽃의 파편들이 내부에서 상호 작용하지만, 폭발 전과 후에 운동량은 보존된다.

질량 중심의 운동량
직선 운동하는 물체의 각 점은 같은 시간에 같은 변위를 운동하므로 병진 운동에서는 물체의 크기를 무시하고 질점으로 생각하여 운동을 다루었다. 그러나 물체가 회전하면서 이동해가는 물체의 운동을 관찰해보면 물체는 어떤 고정점 주위를 회전하면서 이동해간다. 이 고정점을 그 물체의 질량 중심이라고 한다. 즉, 질량 중심은 물체 또는 물체계의 전체 질량이 그 점에 모여 있다고 생각되는 점이다.
일반적인 물체의 운동은 질량 중심의 운동과 그 주위의 회전 운동이 겹쳐진 운동으로 나타난다.
(1) 물체계의 질량 중심의 운동
두 물체를 한 물체계로 생각할 때 물체계의 질량 중심은 두 물체 사이의 거리를 질량에 반비례하여 내분하는 점이 된다. 질점계에서 임의의 원점 O에 대한 m1, m2, 질량 중심의 좌표를 x1, x2, x라고 하면
x=m1x1 + m2x2 / m1 + m2 가 된다.
m1 + m2 = M 이라고 하면 Mx= m1x1 + m2x2가 된다.
두 질점이 시간 Δt 동안 각각 변위 Δx1, Δx2만큼 운동하고 질량 중심이 변위 Δx만큼 운동하였다면 질량 중심의 운동량은 다음과 같이 표현된다.
MΔx/Δt = m1Δx1/Δt + m2Δx2/Δt, 즉 MV=m1v1 + m2v2
질량 중심의 운동량은 물체계 전체의 질량과 질량 중심의 속도를 곱한 값이고, 이것은 물체 각각의 운동량 총합과 같다. 이때 외력이 작용하지 않는다면 상호 작용 전후에도 운동량은 일정하게 보존된다.
질량 중심의 운동량 = 물체들의 운동량 총합
mV=m1v1 + m2v2 + m3v3 +...
(2) 물체계의 분열과 질량 중심의 운동
매끄러운 수평면 위에 놓인 질량 m1, m2인 두 공 A, B를 압축된 용수철에 고정시켰다가 운동시킬 때를 생각해 보자. 이때 두 공의 속도를 각각 v1, v2라고 하면 운동량 보존 법칙이 성립한다.
m1v1 + m2v2 = 0            v1/v2 = -m2/m1
즉, 분열할 때 속력 비는 질량 비에 반비례한다.
두 공이 반발 된 후 t초 후의 처음 위치로부터 거리는 x1=v1t, x2=v2t만큼 이동하므로 속력 비는 다음과 같다.
v1/v2=m2/m1=x1/x2
이 관계는 계속 성립하므로 매 시각에서의 질량 중심의 위치는 매 시각에서 두 공 A, B 사이의 거리를 질량에 반비례하여 내분한 점, 즉 처음의 질량 중심 G가 된다.

충돌과 반발 계수

(1) 반발 계수
진흙 덩어리나 밀가루 반죽 등은 마룻바닥에 충돌한 후 튀어 오르지 않지만 탁구공, 골프공, 테니스공과 같은 물체는 잘 튀어 오른다. 이와 같이 두 물체가 충돌할 때에는 물체가 무엇으로 만들어져 있는가에 따라 충돌 후 튕겨 나가는 모습이 다르다.
두 물체가 일직선상에서 속도 v1, v2로 운동하다가 충돌 후 같은 방향으로 v1', v2'로 되었을 때, 충돌 후 서로 멀어지는 속도 v2' - v1'과 충돌 전 서로 가까워지는 속도(충돌 전의 상대 속도) v1-v2의 비를 반발 계수라고 한다.
반발 계수(e)의 값 : 0<=e<=1
충돌하는 물체들의 반발하는 정도를 나타내는 반발 계수 e는 충돌 전의 상대 속도나 물체의 질량에는 관계없고, 두 물체를 구성하는 물질에 따라 결정된다. 충돌하는 물체가 화약 등에 의해 폭발하는 경우에는 폭발에 의해 화학 에너지가 물체의 운동 에너지로 변하게 되어 e>1인 경우가 된다.

(2) 충돌의 종류
물체가 충돌할 때 반발 계수 값에 관계없이 운동량 보존 법칙이 성립하며, 반발 계수 값에 따라 다음의 세 종류의 충돌로 구분된다.

1. 완전 탄성 충돌(탄성 충돌)
e=1일 때의 충돌로, 운동량뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다.
1/2m1v1^2 + 1/2m2v2^2=1/2m1v1'^2+1/2m2v2'^2
기체 분자나 당구공 사이의 충돌은 근사적으로 탄성 충돌이며, 질량이 같을 때 충돌 전후의 속도가 서로 교환된다.
2. 비탄성 충돌
0<e<1일 때의 충돌로, 보통의 충돌은 이 경우에 속한다.
이때 멀어지는 속력(v2'-v1')은 가까워지는 속력(v1-v2)보다 작고, 운동 에너지의 일부는 열에너지 등으로 전환된다.
3. 완전 비탄성 충돌
e=0일 때의 충돌로, 충돌 후 두 물체가 완전히 합쳐진다. 이러한 충돌을 하는 물체를 완전 비탄성체라고 하며, 진흙이 이에 속한다.

(3) 일직선상의 충돌
일직선상에서 같은 방향으로 운동하는 질량 m1, m2인 두 공이 각각 v1, v2의 속도로 충돌하여 충돌 후의 속도가 각각 v1', v2'로 변하였다고 하면 운동량 보존 법칙과 반발 계수 식을 이용하여 충돌 후의 속도를 구할 수 있다.
운동량 보존 식 : m1v1' + m2v2' = m1v1 + m2v2
반발 계수 식 : v2'-v1' = e(v1-v2)
우의 두 식을 연립 방정식으로 푼 결과는 다음과 같다.
v1' = v1 - m2(1+e)/m1+m2(v1-v2)
v2' = v2 + m1(1+e)/m1+m2(v1-v2)

1. 질량이 같은 두 물체가 완전 탄성 충돌을 할 때
m1=m2=m, e=1이므로 위의 식에 대입하여 풀면 v1'=v2, v2'=v1이 된다. 즉, 같은 질량의 두 물체가 완전 탄성 충돌하면 서로 속도를 교환한다.

2. 두 물체가 완전 비탄성 충돌을 할 때
두 물체가 완전 비탄성 충돌을 할 때에는 반발 계수 e=0이므로 운동량 보존 법칙만으로 충돌 후의 속도를 구할 수 있다.
충돌 후의 속도를 v'이라고 하면 운동량 보존 법칙에서 다음과 같이 된다.
m1v1 + m2v2 = (m1+m2)v'
v'=m1v1+m2v2/m1+m2

3. 매끄러운 면에 비스듬히 충돌할 때
공이 매끄러운 벽 또는 마룻바닥에 비스듬히 충돌할 때 공은 면에 평행한 방향으로는 힘을 받지 않고 수직한 방향으로만 충격량을 받는다.
충돌 전후의 공의 속도를 각각 v, v', 면에 평행한 속도 성분을 각각 vy, vy', 면에 수직한 속도 성분을 각각 vx,vx'이라고 하면 수직한 성분만이 변하므로 다음과 같은 관계가 성립한다.
면에 평행한 속도 성분 : vy=vy'
면에 수직한 속도 성분 : |vx'|=e|vx|
완전 탄성 충돌(e=1)의 경우에는 |vx'|=|vx|로 되어 v=v'가 성립하고, Θ=Θ'(입사각 = 반사각)가 된다.

4. 공이 마룻바닥과 충돌하여 튀어 오르는 경우
높이 h에서 자유 낙하한 공이 마룻바닥에 충돌한 후 h'까지 튀어 올랐다면 충돌 전의 속도 v=-sqrt(2gh)=-gt, 충돌 후 속도 v'=sqrt(2gh')=gt'이므로 반발 계수 e는 다음과 같다.
e=-v'/v = sqrt(2gh')/sqrt(2gh) = sqrt(h'/h) = t'/t
이때 튀어 오르는 높이 h'과 h'까지 올라가는 데 걸리는 시간 t'은 각각
h' = e^h, t'=et가 된다. 따라서 높이 h에서 자유 낙하시켜 공이 정지할 때까지 운동한 총 거리 s는
s=h+2e^2h+2e^4h+...=h+2h(e^2+e^4+...)
s=h+2he^2/(1-e)=(1+e)t/(1-e)
또한 완전 탄성 충돌(e=1)에서는 h'=h로 에너지 손실없이 같은 높이까지 반발된다.

(4) 운동량과 운동 에너지
질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 운동량 p = mv, 운동 에너지 K = 1/2mv^2이므로 운동 에너지는 다음과 같이 표시된다.
K=1/2mv^2 = p^2/2m
1. 분열과 운동 에너지
정지하고 있던 질량 M인 물체가 폭발에 의해 질량 m1, 속도 v1인 물체와 질량 m2, 속도 v2인 물체로 분열된다면 운동량 보존 법칙에 의해
m1v1-m2v2=0 v1/v2=m2/m1이 된다.
따라서 폭발에 의해 발생된 에너지가 E, 폭발 후 각 물체의 운동 에너지를 K1, K2라고 하면 운동 에너지 비는
K1/K2=(m1v2^2/2)/(m2v2^2/2) = v1/v2 = m2/m1이다.
따라서 E=K1 + K2이므로 K2 = m1K1/m2를 대입하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
E=K1 + m1K1/m2 = (1+m1/m2)K1
K1 = m2E/m1+m2
K2 = m1E/m1+m2

2. 충돌과 운동 에너지
물체의 충돌 현상에서 운동량 보존 법칙은 항상 성립하지만, 탄성 충돌(e=1) 이외의 경우에는 운동 에너지 일부가 열로 변하기 때문에 역학적 에너지가 보존되지 않는다.
직선 위를 같은 방향으로 운동하는 질량 m1, m2, 속도 v1, v2인 두 공이 충돌 후 각각 v1', v2'의 속도가 되었을 때 반발 계수를 e라고 하면 운동량 보존 법칙과 반발 계수 식에서 v1'과 v2'은 각각 다음과 같다.
v1'=v1-(m2(1+e))(v1-v2)/m1+m2
v2'=v2+(m1(1+e))(v1-v2)/m1+m2
충돌 전후의 운동 에너지의 합을 각각 K, K'이라고 하면
K=1/2(m1v1^2 + m2v2^2)
K'=1/2(m1v1'^2 + m2v2'^2)
이므로, 이 식에 v1', v2' 값을 대입하여 정리하면 충돌 전후의 운동에너지 차는 다음과 같다.
K-K'=1/2(1-e^2)*m1m2(v1-v2)^2/m1+m2

운동량 보존

(1) 운동량과 충격량
1. 운동량
물체가 운동하고 있을 때 물체가 갖고 있는 운동 상태의 관성에 해당하는 양을 운동량이라고 한다. 따라서 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 물체는 운동 에너지(K=1/2mv^2)와 운동량 p를 가준다.
p=mv(kgm/s)
①운동량은 속도 v와 같은 방향을 갖는 벡터양이다.
②운동량 변화는 물체에 힘을 얼마나 오랜 시간 동안 작용했는가에 따라 정해진다.
③운동량 변화량 Δp는 나중 운동량 mv에서 처음 운동량 mv0을 뺀 값이다.
Δp=mv-mv0 (벡터 뺄셈)
④평면상에서의 운동량 변화량 : Δp=mv-mv0 (평행사변형법을 이용)
⑤운동하고 있는 물체가 충격량 FΔt를 받아 운동 방향이 변하는 경우 Δp=mv-mv0=p-p0이고, 크기는 다음과 같다.
|Δp| = sqrt(p0^2 + p^2 -2pp0cosΘ)
처음 운동량 p0와 나중 운동량 p의 크기가 같을 때(|p0| = |p| = mv)
Θ=60일때 Δp=mv             Θ=90일때 Δp=sqrt(2)mv
Θ=120일때 Δp=sqrt(3)mv   Θ=180일때 Δp=2mv

2. 충격량
충격량은 운동량과 같이 운동하고 있는 물체가 갖는 양이 아니라 물체들이 충돌과 같이 상호 작용할 때 한물체가 다른 물체에 줄 수 있는 양이다. 어떤 시간 t 동안에 물체에 주어진 힘 F의 총량, 즉 F와 시간 t의 곱 Ft를 충격량이라고 한다.
I=Ft(Ns)
충격량은 벡터양이고, 그 방향은 힘 F의 방향과 같다.

(2) 충격량-운동량 정리
평면상에서 속도 v0로 운동하고 있는 질량 m인 물체에 일정한 힘 F가 시간 t 동안 작용하여 속도가 v로 변하였다면 가속도 a=v-v0/t이므로 운동 방정식 F=ma에 대입하여 정리하면 다음의 관계가 성립한다.
Ft=mv-mv0
따라서 물체에 주어진 충격량은 운동량 변화량과 같음을 알 수 있다. 이것을 충격량-운동량 정리라고 한다.

(3) 충격력
오른쪽 그림과 같이 골프채와 단단한 골프공이 충돌할 때 충돌하는 도중에 공은 크게 변형이 진행되고 있다. 이와 같이 충돌하는 두 물체 사이에는 상대적으로 강한 힘이 짧은 시간 동안 작용한다. 이때 힘의 크기는 측정하기 어려우나 힘에 의한 총 충격량은 운동량 변화량을 측정하여 구할 수 있다.
짧은 시간만 작용하고 충격량 값밖에는 알 수 없는 큰 힘을 충격력이라고 한다. Δt 동안에 운동량이 Δmv만큼 변했다면 힘 F는
F=Δmv/Δt = Δp/Δt 이다. 즉, 힘은 운동량의 시간적 변화율이다.

1. 물체에 작용하는 힘이 일정할 때 작용 시간이 길어지면 운동량 변화량도 비례하여 커진다. → Δp∝Δt (F=일정)
2. 그림 (가), (나)와 같이 운동량 변화량이 일정할 때 작용 시간이 짧을수록 물체에 작용하는 힘은 커진다. → F∝1/Δt (Δp=일정)

(4) 운동량 보존 법칙
일직선상을 운동하는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A와 질량 m2, 속도 v2인 물체 B가 충돌하여 짧은 시간 후에 물체 A는 v1', B는 v2'으로 되었다. 이때 접촉하였다가 떨어질 때까지의 시간을 Δt, 이 동안에 물체 A가 B에 가하는 평균 힘을 F라고 하면 작용 반작용 법칙의 의해 물체 B가 A에 가하는 힘은 -F가 된다.
따라서 물체 B가 A로부터 받은 충격량을 FΔt라고 하면 물체 A가 B로부터 받은 충격량은 -FΔt가 되고, 충격량-운동량 정리에서
A : -FΔt = m1v1'-m1v1 B : FΔt = m2v2' - m2v2
이다. 위 두 식을 더해서 정리하면
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
(충돌 전 운동량 합)      (충돌 후 운동량 합)
이다. 즉, 물체가 분열, 융합, 충돌할 때와 같이 물체들 사이에 서로 힘(내력)이 작용하여 속도가 변하더라도 외력이 작용하지 않으면 힘의 작용 전후의 운동량 총합은 항상 일정하게 보존된다. 이것을 운동량 보존 법칙이라고 한다.

1. 운동량 보존 법칙
두 물체가 충돌하는 경우, 두 물체가 한 물체계로 합쳐지며 융합하는 경우, 한 물체가 두 개 이상의 물체로 분열하는 경우 및 총알이 물체를 관통하는 경우와 같이 매우 짧은 시간에 서로 힘을 작용하는 순간적인 현상에서 성립한다.
① 운동량은 벡터량이므로 운동량 합성은 벡터 합성으로 한다.
② 내력 : 충돌이나 분열일 때 두 물체 사이에 작용하는 내력은 충격력으로서 매우 크고 작용 시간이 매우 짧다. 이와 같은 경우에 내력의 충격량에 비하여 외력의 충격량이 무시 될 정도이면 운동량 보존 법칙이 성립한다.

2. 분열 또는 융합하는 경우
물체가 분열 또는 융합할 때 운동량 보존 법칙에 의해 다음 관계가 성립한다.
분열 : 0-mv-MV V/v=m/M
융합 : mv=(m+M)V V/v=m/m+M

행성의 원운동

(1)케플러 법칙
17세기 초 독일의 천문학자 케플러는 그의 스승인 덴마크의 천문학자인 티코 브라헤가 정밀하게 관측한 행성의 운동에 관한 관측 자료를 1601년부터 1621년까지 정리 분석하여 다음과 같은 세 가지 법칙을 발견하였다.

1. 제1법칙 | 태양계 내의 모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그리면서 운동한다.
●실제 행성들은 거의 원에 가까운 궤도를 그린다.

2. 제2법칙 | 태양과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 우주 공간에 그리는 면적은 항상 일정하다.
①제2법칙은 행성들의 공전 속력이 태양에서 먼 곳에서는 느리고, 가까운 곳에서는 빠르다는 것을 보여 준다.
②S1과 S2의 면적이 같을 때 행성이 A 지점에서 B 지점까지 가는 데 걸리는 시간과 C 지점에서 D 지점까지 가는 데 걸리는 시간은 같다.

3. 제3법칙 | 행성의 공전 주기 T의 제곱은 타원 궤도의 긴 반지름 R의 세제곱에 비례한다.
T^2 = kR^3

①제3법칙은 태양에서 먼 행성일수록 공전 주기가 길다는 것을 알려 준다.
②제3법칙은 뉴턴이 만유인력 법칙을 발견하는 데 매우 중요한 역할을 하였다.
③중심력을 받으며 운동하는 물체의 면적 속도는 각 운동량에 비례한다. 행성의 면적 속도가 일정하다는 것은 행성의 각 운동량이 보존된다는 것을 뜻한다.

(2) 만유인력 법칙
케플러 제1법칙에 의하면 행성은 타원 운동을 하지만 타원이라도 거의 원에 가깝다. 이에따라 뉴턴은 행성의 운동을 등속 원운동하는 것으로 생각하여 행성에 작용하는 힘을 다음과 같이 유도하였다.
질량 m인 행성이 반지름 R의 원둘레상을 속력 v, 주기 T인 등속 원운동을 한다면 행성은 태양 쪽으로 구심력 F를 받는다. 구심력 F의 크기는
F=mRω^2 = mR(2π/T)^2 = 4π^2mR/T^2인데, 이것은 태양이 행성을 당기는 힘으로 케플러 제3법칙 T^2 = kR^3을 대입하면
F=4π^2m/kR^2 (태양이 행성을 당기는 힘)이 된다. 이 사실로 미루어 보면 행성도 거리 R의 제곱에 반비례하고 태양의 질량 M에 비례하는 힘 F'으로 태양을 당기고 있다고 생각할 수 있다.
F'=4π^2/k' * M/R^2 (행성이 태양을 당기는 힘)
작용 반작용 법칙에 의하면 F=F'이므로 4π^2/k이 태양의 질량 M에 비례하지 않으면 안된다. 따라서 새로운 상수 G를 도입하여 4π^2/k=GM이라고 하면, 태양과 행성 사이에 작용하는 힘 F는 다음과 같다.
F=GmM/R^2
이를 통해 뉴턴은 태양과 행성 사이에 작용하는 인력이 두 천체의 질량과 거리에 의해 결정되므로, 어떤 특정한 별에 한정되는 것이 아니라 질량이 있는 모든 두 물체 사이에 작용한다고 생각했다.
따라서 두 물체들 사이에 작용하는 만유인력의 크기 F는 각 물체의 질량 m1, m2의 곱에 비례하고, 두 물체 사이의 거리 r의 제곱의 반비례함을 알 수 있다.
F=Gm1m2/r^2
이것을 만유인력 법칙 또는 뉴턴의 중력 법칙이라 하고, G는 모든 물체의 공통적인 상수로서 만유인력 상수라고 한다.

(3) 만유인력에 의한 역학적 에너지
1. 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지
물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점에서 어떤 특정한 위치로 물체를 서서히 이동시키는 동안에 외력이 한 일이다.
지표면 가까이에 있는 물체의 퍼텐셜 에너지는 기준점을 지표면으로 할 때 중력장의 세기 g가 일정하므로 mgh로 나타낸다.
질량 M인 지구 중심 O에서 거리 r인 P 지점에 있는 질량 m인 물체에 작용하는 만유인력의 크기 F는
F=GMm/r^2이다. 이때 F와 크기가 같고 방향이 정반대인 외력 F'을 물체에 가하면서 무한히 먼 곳까지 천천히 이동시키면 외력 F'이 한 일 W는 F-r 관계 그래프에서 아래 부분의 넓이와 같고, 그 크기는 W=GMm/r(J)이 된다. 이것은 두 물체들 사이의 만유인력 F에 대하여강제로 이동시킬 때 퍼텐셜 에너지로 전환되므로, 무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞와 거리 r에서의 퍼텐셜 에너지 U와의 차가 된다.
U∞-U=GMm/r
무한원에서는 두 물체들 사이의 만유인력도 0이 되므로 물체의 퍼텐셜 에너지 U∞도 0이 되어 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지를 측정하는 기준 위치가 된다. 따라서 질량 M인 물체가 만드는 만유인력장으로부터 거리 r만큼 떨어진 곳에 놓인 질량 m인 물체의 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U는 다음과 같다.
U=U∞-GMm/r
무한 원점에서의 퍼텐셜 에너지 U∞는 0이므로
U=-GMm/r 이 된다.

2. 만유인력장에서의 역학적 에너지
역학적 에너지 보존 법칙은 물체가 중력이나 탄성력을 받으면서 운동하는 경우뿐만 아니라 만유인력을 받으면서 운동하는 경우에도 성립한다.
질량 M인 물체에서 거리 r만큼 떨어진 지점에 있는 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하고 있을 때 만유인력에 의한 퍼텐셜 에너지 U=-GMm/r이고, 운동 에너지 K=1/2mv^2이다. 따라서 이 물체의 역학적 에너지 E는 다음과 같다.
E=K+U=1/2mv^2-GMm/r=일정
E<0인 경우 : 물체는 중력장에 속박되어 원운동 또는 타원 궤도를 그리는 운동을 한다.
E>=0인 경우 : 물체는 중력장을 탈출한다.

원운동

원운동하는 놀이기구나 회전하는 선풍기 날개의 한 점을 보면 원을 그리면서 일정한 속력으로 회전하는 것을 볼 수 있다. 이와 같이 물체가 반지름이 일정한 원둘레상을 일정한 속력으로 돌고 있는 운동을 등속 원운동이라고 한다.

1. 주기
물체가 원둘레상을 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 주기라 하고, T로 표시한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 속력 v로 등속 원운동할 때 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v

2. 진동수
단위 시간 동안에 물체가 회전하는 횟수를 진동수라 하고, f나 v로 표시하며, 단위를 Hz를 사용한다. 진동수 f와 주기 T는 다음의 관계가 성립한다.
f=1/T, 1Hz = 1s^-1

3. 등속 원운동의 속력
물체가 등속 원운동을 할 때 물체의 속력은 일정하지만 물체의 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변하므로 속도 v는 일정하지 않고 계속 변한다. 물체가 반지름 r인 원둘레상을 한 바퀴 도는 데 T초가 걸렸다면 물체의 속력 v는 다음과 같다.

v=2πr/T

4. 각속도
원운동하는 물체가 단위 시간 동안 회전한 중심각을 각속도라 하고, ω의 기호로 표시하며, 단위는 rad/s를 사용한다.

시간 t(s) 동안에 각 Θ만큼 회전하였다면 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t(rad/s) Θ=ωt(rad)

이 물체는 주기 T(s) 동안에 360, 즉 2π(rad)를 회전하므로 각속도는 다음과 같다.
ω=Θ/t=2π/T(rad/s)

속력 v로 등속 원운동하는 물체가 t초 동안에 각 Θ(rad)만큼 회전하면 원둘레상을 운동한 거리 s(호의 길이)는 다음과 같다.
s=vt=rΘ

접선 방향의 속도 v와 각속도 ω의 관계는 v=2πr/T와 ω=2π/T에서
v=rω(m/s)이고, 주기 T는 다음과 같다.
T=2πr/v=2π/ω=1/f(초)

(2) 구심 가속도
등속 원운동하는 물체는 속력이 일정하지만 운동 방향은 원의 접선 방향으로 계속 변한다.
따라서 등속 원운동은 시간에 따라 속도가 계속 변하는 가속도 운동이다.
등속 원운동하는 물체가 짧은 시간 Δt초 동안 점 P에서 Q로 이동하였다면 속도 변화량 Δv=v2-v1이다. 즉, 속도 v1, v2를 평행 이동 시켜 출발점 (C)을 일치하도록 하여 삼각형 ABC를 그리면 AB가 속도 변화량 Δv이다.
그림 (가)와 (나)에서 삼각형 PQO와 삼각형 ABC를 비교해 보면 중심각 POQ = ACB = Θ이고, 선분 OP=OQ=r, AC=BC=v이므로 삼각형 POQ (닮음) 삼각형 ACB가 된다.
두 삼각형의 닮음비에서 다음과 같은 식을 얻는다.
PQ/r=Δv/v
Δt를 매우 짧게 하면 호 PQ는 현 PQ와 같아지고, PQ = vΔt가 되므로 vΔt/r=|Δv|/v가 된다.
따라서 가속도 a의 크기는 a=|Δv|/Δt = v^2/r = rω^2 = 4π^2r/T^2 = vω(m/s^2)
이 된다. 또 가속도 a의 방향은 Δv의 방향과 같고, ΔΘ를 매우 작게 하면 Δv는 v1과 거의 직각을 이루게 되어 가속도의 방향은 원의 중심을 향한다. 따라서 등속 원운동에서의 가속도는 항상 원의 중심을 향하므로 구심 가속도라고 한다.
구심 가속도 a는 원의 중심을 향하고, 그 크기는 다음과 같다.
a=v^2/r=rω^2=4π^2r/T^2
구심 가속도의 크기는 일정하지만 가속도의 방향이 계속 변하므로 등가속도 운동은 아니다.

(3) 구심력
등속 원운동하는 물체는 그 속력이 일정하여도 원운동의 중심을 향하는 가속도가 필요하므로 이 가속도를 생기게 하는 중심 방향의 힘이 물체에 작용해야 한다. 이 힘은 가속도와 같이 항상 원의 중심을 향하므로 구심력이라고 한다.
구심력의 방향은 가속도의 방향, 즉 원의 중심 방향이고, 반지름 r인 원궤도를 도는 질량 m인 물체에 작용하는 구심력 F는 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해 다음과 같다.
F=ma=mv^2/r=mrω^2=4π^2mr/T^2 (ω=2π/T)

1. 일정한 크기의 힘이 항상 운동 방향에 수직한 방향으로 작용하면 이 힘이 구심력이 되어 물체는 등속 원운동을 하게 된다. 구심력의 방향은 항상 변하므로 크기는 일정해도 힘은 일정한 것이 아니다.

2. 구심력의 역할을 하는 힘
(1) 실의 장력 : 실에 매단 돌이 원운동할 때에는 실의 장력이 구심력이 된다.
(2) 마찰력 : 회전하는 원판 위의 물체나 수평면에서 자동차가 원운동할 때 지면과 타이어 사이의 마찰력이 구심력의 역할을 한다.
(3) 만유인력 : 지구나 그 밖의 행성이 태양 주위를 공전할 때 또는 인공위성이 지구 주위를 돌 때 만유인력이 구심력의 역할을 한다.
(4) 정전기력 : 원자핵 주위를 도는 전자의 운동은 전기력이 구심력의 역할을 한다.

포물선 운동

(1) 포물선 운동

포물선 운동(projectile motion)은 수평 방향(x축) 운동과 연직 방향(y축) 운동으로 분해하여 생각할 수 있다. 이때 각 방향의 힘(분력)이 그 방향의 운동에 관계하므로 포물선 운동은 서로 독립된 직선 운동을동시에 하고 있는 것과 같은 모양이 된다.

공기 저항을 무시하면 포물선 운동하는 물체는 수평 방향(x축)으로는 힘을 받지 않으므로 수평 방향의 가속도는 0이다. 따라서 수평 방향의 속도는 변하지 않고 등속 직선 운동(등속도 운동)을 한다. 연직 방향(y축)으로는 중력만을 받으므로 연직 아랫 방향의 가속도 g(중력 가속도)인 등가속도 직선 운동을 한다.

(2) 수평 방향으로 던져진 물체의 운동

수평 방향으로 던져진 물체는 수평 방향으로는 등속 직선 운동(등속도 운동)을 하고, 연직 방향으로는 자유 낙하 운동(등가속도 운동)을 한다.

1. 물체에 작용하는 힘과 운동의 해석

수평으로 초속도 v0로 던져진 물체는 수평 방향으로는 힘을 받지 않고, 연직 아랫방향으로만 중력 F=mg를 받는다.

2. 시간 t초 후의 속도(v)

수평 방향(x축)은 등속도 운동이고, 연직 방향(y축)은 자유 낙하 운동이다.

시간 t초 후 물체의 속도 v의 x 성분과 y 성분을 각각 vx, vy라고 하면

vx=v0 (등속도 운동), vy=gt(자유 낙하 운동)

이다. 따라서 t초 후의 속도 v의 크기와 방향은 다음과 같다.

크기 : v = sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + (gt)^2), 방향 : tanθ = vy/vx = gt/v0

3. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후의 위치 x, y는 다음과 같다.
등속도 운동 : x=v0t, 자유 낙하 운동 : y=1/2gt^2

4.  운동 경로의 식 | 위 두 식에서 시간 t를 소거하면 경로의 식은 다음과 같다.
y=1/2g(x/v0)^2=gx^2/2v0^2

5.  지면 도달 시간(t) | 자유 낙하하는 시간과 같다.
h=1/2gt^2에서 t=sqrt(2h/g)

6. 수평 도달 거리(R) | 낙하 시간 t 동안 등속도 운동을 하므로 수평 도달 거리 R는 다음과 같다.
R=v0t=v0*sqrt(2h/g)

7. 지면 도달 속도(v) | 지면 도달 속도 v의 수평 성분은 vx=v0이고, 연직 성분은 vy = gt = sqrt(2gh)이므로 지면 도달 속도 v는 다음과 같다.

크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) = sqrt(v0^2 + 2gh) 방향 : tanθ = vy/vx = sqrt(2gh)/v0

(3) 비스듬히 위로 던져 올린 물체의 운동
수평면과 각 θ를 이룬 방향으로 초속도 v0로 던져 올린 물체는 공기 저항을 무시할 때 수평 방향으로는 힘을 받지 않고 연직 방향으로만 중력을 받는다.
따라서 이러한 포물선 운동은 수평 방향으로는 등속도 운동으로, 연직 방향으로는 연직 투상 운동으로 해석하면 된다.

1. 시간 t초 후의 속도(v) | 시간 t초 후 물체의 속도 v의 수평 성분 vx와 연직 성분 vy는 다음과 같다.
vx=v0x=v0cosθ(등속도 운동)
vy=v0y-gt=v0sinθ-gt(연직 투상 운동)
속도 v와 수평 방향이 이루는 각을 파이라고 하면 v의 크기와 방향은 다음과 같다.
크기 : v=sqrt(vx^2 + vy^2) 방향 : tanΦ=vy/vx=v0sinθ-gt/v0cosθ

2. 시간 t초 후의 위치(x, y) | 시간 t초 후 물체의 위치는 출발점을 원점으로 할 때 좌표 (x, y)로 표시한다.
x=v0cosθt
y=v0yt-1/2gt^2=v0sinθt-1/2gt^2

3. 운동 경로의 식 | 위의 두 식에서 t를 소거하여 운동 경로의 식을 구한다.
y=tanθx - gx^2/2v0^2cos^2θ

4. 포물선 운동의 최고점 | 비스듬히 던져 올린 물체가 최고점에 도달하면 물체의 속도는 수평 방향 성분이 v0cosθ이고, 연직 방향의 성분은 0이 된다. 따라서 최고점의 높이와 소요 시간 등을 구할 때에는 그 점에서 연직 방향의 상승 속도가 0이므로 y 방향의 운동 공식에 vy=0을 대입하여 구한다.
크기 : v=vx=v0x=v0cosθ

최고점 도달 시간 : 최고점 도달 시간은 vy=0일 때의 시간이므로 vy=v0sinθ-gt에서 구한다.

최고점 높이 : 연직 방향의 초속도 v0y = v0sinθ이고 최고점에서 vy=0이므로 -2gy = vy^2-v0y^2

최고점까지의 수평 거리 : 수평 방향으로는 초속도 v0cosθ로 등속도 운동을 한다

(4) 포물선 운동과 역학적 에너지 보존 법칙
자유 낙하시킨 물체뿐만 아니라 공중으로 던져 올린 물체는 공기 저항력을 무시하면 중력만 받으면서 운동하므로 역학적 에너지 보존 법칙이 성립한다. 오른쪽 그림과 같이 질량 m인 물체가 초속도 v0로 지면(O점)에서 비스듬히 윗방향으로 던져 올려졌을 때 O점에서 물체의 퍼텐셜 에너지와 운동 에너지는

퍼텐셜 에너지 U0=0, 운동 에너지 K0=1/2mv0^2
이다. 따라서 O점에서 물체의 역학적 에너지 E0는
E0 = K0 + U0 = 1/2mv0^2
인데, 초속도 v0를 수평 성분 v0x와 연직 성분 v0y로 분해하면 E0는
E0 = 1/2mv0^2 = 1/2m(v0x^2 + v0y^2)
이다. 이때 임의의 높이 y인 P점에서 물체의 속도가 v이면 역학적 에너지 E는
E=U+K=mgy+1/2mv^2 = mgy + 1/2mvx^2 + 1/2mvy^2
=mgy+1/2mv0x^2 + 1/2m(v0y^2 - 2gy)
=1/2mv0x^2 + 1/2mv0y^2 = 1/2mv0^2
가 되어 던져 올릴 때의 역학적 에너지 E0와 같게 된다. 이로부터 포물선 운동에서 운동 중의 물체의 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 총합은 일정하게 보존된다는 것을 알 수 있다.
또한 마찰이 없는 곡면을 따라 운동하는 물체의 경우에도 항상 역학적 에너지가 일정하게 보존된다. 따라서 마찰이나 저항이 무시되는 경우 중력장에서 물체의 운동은 역학적 에너지 보존 법칙으로 해석하면 쉽게 이해된다.