방사선 원소의 붕괴

방사성붕괴법칙

방사성 원자핵은 붕괴에 대한 기억을 가지고 있지 않다.

분열 가능한 핵, 즉 방사성 동위원소(radioactive isotope)가 언제 분열하는가는 핵의 종류에 따른 특정한 확률에 의해 결정된다. 알파붕괴의 경우에 대하여 생각해 보자. 핵 속에 있는 알파 입자 덩어리는 핵의 가장자리에 형성되어 있는 에너지 장벽 때문에 그 내부를 끊임없이 왕복운동을 하게 된다. 그러나 양자역학에 의하면 높은 에너지 장벽을 박차고 탈출할 수 있는 적은 확률이 있기 때문에 알파붕괴를 할 가능성을 가지고 있다. 이는 전적으로 양자역학적 원리에 지배 되기 때문에 이 확률은 일정한 값으로 정해진다. 알파 입자가 상당히 오랫동안 붕괴하지 않고 왕복운동을 하였더라도 그 다음에 붕괴할 확률은 처음으로 부딪혔을 때와 마찬가지이다. 주사위를 6 이 나올 때까지 던지는 실험을 생각해 보자. 상당히 오랫동안 6 이 나오지 않았다고 1회 시도에서 6 이 나올 확률이 점점 커지는 것은 아니다. 이와 같이 알파붕괴는 지금까지 붕괴를 시도한데 대한 기억을 가지고 있지 않기 때문에 특이한 붕괴양상을 가지게 된다.

이렇게 양자역학의 지배를 받는 것은 알파붕괴뿐만 아니라 모든 붕괴가 다 마찬가지다. 즉, 하나의 핵에 대한 변화가 특별한 외부의 자극이나 인접한 핵의 영향이 없이 순전히 자발적으로 일어나는 경우에는 그 반응은 일정한 확률로 일어나게 되는 것이다.

핵의 붕괴곡선

확률에 의한 반응의 결과로 지수함수 꼴로 생존한다.

하나의 핵이 1초당 붕괴할 확률을 λ 라고 하자. 이것을 붕괴상수(decay constant)라 하며, 이 값은 핵이 놓여 있는 외부 조건에 거의 무관하다. 핵은 전자의 구름에 의해 감싸여 있어, 일상적인 온도, 압력, 화학반응 등 조건에서 핵은 무풍지대로 남아 있어 핵의 상태는 영향을 전혀 받지 않기 때문이다.

N 개의 핵이 있었다면 이 N 개의 핵 중에서 dt 초 동안에 붕괴하는 개수(즉, −dN)는 λNdt 일 것이다. 따라서 다음의 미분방정식을 만족한다.

dN(t)dt=−λN(t)(1)

N(t)에 대하여 이 방정식을 풀어보면

N(t)=N0e−λt

이 함수는 지수함수적으로 감소하는 함수로서 N0는 t=0 시간에 주어진 핵의 개수이다. 지수함수는 시간에 따라 나머지의 일정한 비율로 줄어드는 특성을 가진다. 따라서 처음의 반으로 줄어드는 시간을 반감기(half life)라 하며 이 값은 잔존하는 핵의 수에 관계없이 일정하다.

반감기는 앞 식에서 지수함수부분이 1/2 로 되는데 소요되는 시간이 되어 다음과 같이 붕괴상수에 반비례한다.

T12=ln2λ≈0.693λ-

반감기는 핵의 개별적인 특성이기는 하지만 많은 수의 핵에 대해서 정의되는 개념이다. 이와 달리 한 핵에 대한 특성으로 그것이 붕괴를 하기까지 걸리는 평균 시간으로 평균수명(mean lifetime)을 정의한다. 

N0개의방사성 동위원소 

2411Na는 2311Na에 중성자를 쏘여서 만들 수 있다. 이처럼 어떤 핵에 중성자나 다른 입자를 조사하여방사성 동위원소를 계속 생성시킨다면 동위원소는 시간에 따라 어떻게 변할까? 생성하는 과정에서도 역시 동위원소는 계속 붕괴하기 때문에 어떤 시점에 이르러 평형을 이룰 것으로 생각할 수 있다. 예를 들어 붕괴상수 λ인 어떤 동위원소가 단위시간당 P의 비율로 생성된다면 N(t)는 다음을 만족한다.

dNdt=P−λN

이 식은

dNP−λN=dt

로 재배치하여 양쪽을 적분하면,

N(t)=N0e−λt+Pλ(1−e−λt)

이다. 이는 반감기의 몇 배에 해당하도록 시간이 충분히 흐르면 거의 평형을 이루는 것을 말한다. 즉 긴 시간이 흘러N=Pλ이 되면 새로 생겨나는 동위원소와 줄어드는 동위원소가 같아져서 일정한 수를 유지하고, 이때의 단위시간당 붕괴하는 수는 P=λN

으로 생성비율과 붕괴비율이 같아진다. 핵이 있을 때, 각각은 0으로부터 ∞ 시간까지 살아 있을 수 있다. 그 중에서 t∼t+dt 시간에 붕괴하는 핵은 t의 수명을 가지는 것으로 볼 수 있다. 이러한 핵의 수는 (1) 식에 의해 λNdt이고, 평균수명은 수명 t에 대한 기대값으로 다음과 같이 계산된다.

τ=⟨t⟩=1N0∫∞0t⋅λNdt=λ∫∞0te−λtdt=1λ

즉, 평균수명은 붕괴상수의 역수로서 반감기와의 관계는 다음과 같다.

τ=T1/2ln2≈1.44T1/2