관성력

1. 좌표계의 종류

물체의 위치와 운동을 명확하기 기술하기 위해 사용하는 좌표계는 관측자에게 편리하도록 임의로 잡을 수 있다. 따라서 같은 상황을 기술하는 데에 있어서 관측자마다 자기에게 편리한 좌표계를 도입할 수 있다. 실질적으로 같은 물리적 상황을 겉보기에는 다르게 기술할 수 있지만 실제 물리 법칙은 동일하게 작용해야 한다.

가. 관성좌표계와 비관성좌표계(가속좌표계)

관성좌표계란 관측자나 관측자가 속한 계가 정지해 있거나 등속도 운동을 하는 경우로 뉴턴 의 운동법칙이 성립한다. 지구의 자전과 공전 효과를 무시한다면 지표면에 정지해 있는 관측자를 관성좌표계로 볼 수 있다.

비관성좌표계(가속좌표계, 이하 가속좌표계)란 관측자나 관측자가 속한 계가 가속도 운동을 하는 경우로 단순히 뉴턴의 운동법칙을 적용할 수 없다. 따라서 가짜힘(관성력)을 도입하여 설명해야 한다.

2. 관성력과 겉보기 무게

정지해 있는 엘리베이터 속에 질량이 m인 사람이 저울 위에 가만히 서 있다고 하자. 이 때 엘리베이터가 일정한 가속도 a로 아랫방향으로 운동하면 저울의 눈금이 ma만큼 작아진다. 이에 대한 관성좌표계에서와 가속좌표계에서의 해석은 다음과 같다.

 

1) 관성 좌표계(지면에 있는 관측자)의 해석 :

사람은 엘리베이터와 함께 의 가속도로 아랫방향으로 운동한다. 사람에게 작용하는 힘은 중력 mg과 저울이 떠 받치는 힘N(수직항력) 이다. 따라서 뉴턴의 운동방정식을 적용하면

이다.

따라서 저울의 눈금이 실제 무게 mg보다 ma만큼 감소한다.

2) 가속 좌표계(엘리베이터 속의 관측자)의 해석 :

 

사람에게 작용하는 힘은 중력 mg과 수직항력 N, 그리고 가상의 힘 F'이 평형을 이루어 관측자에게는 정지해 있는 것처럼 보인다.

따라서 저울이 떠 받치는 힘(수직항력) N은

가 되며, 가상의 힘 F'는 F'=ma의 값을 가져야 한다. 

이처럼 가속좌표계의 관측자에게는 관측자의 가속도의 방향과 반대 방향으로 가상의 힘이 작용하고 있는 것처럼 보인다. 이 가상의 힘을 관성력이라 하고 다음과 같다.

관성력

1) 실제 무게 지구와 물체 사이에 작용하는 만유인력의 크기와 같다. 이 식에서 무게는 오직 물체의 질량과 지구 중심과의 거리에 의해서만 결정되는 값이다. 만일 지표면에서라면 r=R(지구반지름) 이므로 으로 표현할 수 있다. 2) 겉보기 무게 저울로 측정된 값으로 관성좌표계(정지상태, 혹은 등속도운동 상태)에서 측정된 값은 실제 무게와 같으나 가속좌표계(가속되는 엘리베이터)에서는 실제 무게와 다르다. 3) 가속되는 경우 저울이 읽는 눈금은 mg일까? N일까? - N이다. 지구가 물체를 잡아당기는 힘(중력) 때문에 물체는 저울을 누르게 되고, 반작용으로 저울은 같은 크기의 힘(수직항력)으로 물체를 떠받치게 된다. 정지한 상태에서는 중력, 물체가 저울을 누르는 힘, 수직항력의 크기는 서로 같지만 가속되는 상태에서는 중력의 크기와 수직항력의 크기는 같지 않다. 하지만 물체가 저울을 누르는 힘과 수직항력은 작용반작용으로 크기가 서로 같기 때문에 저울이 읽은 값은 N이다.

3. 관성력과 무중력 상태

엘리베이터가 자유 낙하하는 경우를 생각해 보자. 이 때 저울의 눈금은 0이 된다. 이에 대한 관성좌표계에서와 가속좌표계에서의 해석은 다음과 같다.

1) 관성 좌표계(지면에 있는 관측자)의 해석 :

사람과 저울이 엘리베이터와 같은 중력가속도 g로 떨어지고 있어 사람은 저울을 누를 수가 없고 이 때문에 저울의 눈금이 0이 된다.

2) 가속 좌표계(엘리베이터 속의 관측자)의 해석 :

중력이 작용하고 있음에도 불구하고 합력이 0이므로, 중력 mg과 크기는 같고 방향이 반대인 가상의 힘, 관성력이 있어야만 이 사실을 설명할 수 있다.

엘리베이터 속의 관측자의 겉보기 무게 w'는 = 중력 - 관성력 = mg-mg가 되어 겉보기 무게는 0이 된다.

3) 무중력과 무중량 : 무중력은 주변에 중력을 작용하는 물체가 존재하지 않아 실제 무게가 0인 경우이고, 무중량은 무게를 느끼지 못하는 상태, 즉 겉보기 무게가 0인 경우이다. 보통 우리가 어딘가에 서 있거나 앉아 있는 경우, 우리 몸에는 중력과 수직항력이 함께 작용하게 된다. 중력은 아래쪽으로 잡아당기는 힘이고 수직항력은 위로 밀어 올리는 힘이기 때문에, 우리 몸은 서로 반대 방향의 힘을 동시에 받는 셈이다. 따라서 몸이 찌그러지는 느낌을 받게 된다. 이런 현상에 익숙해 있는 우리에게 바닥이 제거되어 수직항력이 사라지게 되면 오직 중력만이 작용하여 낙하하게 되는데 이 때를 무중력상태라고 말하는 것이다.

평면상 충돌

평면상 충돌과 운동량 보존
매끄러운 수평면 위를 운동하고 있는 질량 m1, 속도 v1인 물체 A가 정지하고 있는 질량 m2인 물체 B에 비스듬히 충돌하여 속도가 A는 v1', B는 v2'로 되었다고 하자. 이때 충격량 - 운동량 정리에서
A:FΔt=m1v1'-m1v1
B:-FΔt=m2v2'-m2v2 (m2v2=0)
m1v1+m2v2 = m1v1'+m2v2'
이며, 이 식은 평면상에서의 충돌에서도 충돌 전후에 운동량이 보존된다는 것을 보여 준다.
(1) 평면 또는 공간상에서의 운동량을 벡터적으로 구할 때 평행사변형법으로 구할 수 있다.
(2) 운동량을 직교하는 x, y 방향으로 분해할 때 각 방향으로의 운동량 보존 관계가 성립한다.
x방향 운동량 보존 : m1v1+0=m1v1'cosa + m2v2'cosB
y방향 운동량 보존 : 0=m1v1'sina-m2v2'sinB
(3)포탄이 떨어지다가 폭발하여 두 조각이 나는 경우에 포탄 조각의 운동량의 벡터합은 원래 포탄의 운동량과 같다.
불꽃놀이에서 최고점에 도달한 폭죽은 순간적으로 정지 상태에 있게 된다. 폭발에 의해 흩어지는 불꽃의 파편들이 내부에서 상호 작용하지만, 폭발 전과 후에 운동량은 보존된다.

질량 중심의 운동량
직선 운동하는 물체의 각 점은 같은 시간에 같은 변위를 운동하므로 병진 운동에서는 물체의 크기를 무시하고 질점으로 생각하여 운동을 다루었다. 그러나 물체가 회전하면서 이동해가는 물체의 운동을 관찰해보면 물체는 어떤 고정점 주위를 회전하면서 이동해간다. 이 고정점을 그 물체의 질량 중심이라고 한다. 즉, 질량 중심은 물체 또는 물체계의 전체 질량이 그 점에 모여 있다고 생각되는 점이다.
일반적인 물체의 운동은 질량 중심의 운동과 그 주위의 회전 운동이 겹쳐진 운동으로 나타난다.
(1) 물체계의 질량 중심의 운동
두 물체를 한 물체계로 생각할 때 물체계의 질량 중심은 두 물체 사이의 거리를 질량에 반비례하여 내분하는 점이 된다. 질점계에서 임의의 원점 O에 대한 m1, m2, 질량 중심의 좌표를 x1, x2, x라고 하면
x=m1x1 + m2x2 / m1 + m2 가 된다.
m1 + m2 = M 이라고 하면 Mx= m1x1 + m2x2가 된다.
두 질점이 시간 Δt 동안 각각 변위 Δx1, Δx2만큼 운동하고 질량 중심이 변위 Δx만큼 운동하였다면 질량 중심의 운동량은 다음과 같이 표현된다.
MΔx/Δt = m1Δx1/Δt + m2Δx2/Δt, 즉 MV=m1v1 + m2v2
질량 중심의 운동량은 물체계 전체의 질량과 질량 중심의 속도를 곱한 값이고, 이것은 물체 각각의 운동량 총합과 같다. 이때 외력이 작용하지 않는다면 상호 작용 전후에도 운동량은 일정하게 보존된다.
질량 중심의 운동량 = 물체들의 운동량 총합
mV=m1v1 + m2v2 + m3v3 +...
(2) 물체계의 분열과 질량 중심의 운동
매끄러운 수평면 위에 놓인 질량 m1, m2인 두 공 A, B를 압축된 용수철에 고정시켰다가 운동시킬 때를 생각해 보자. 이때 두 공의 속도를 각각 v1, v2라고 하면 운동량 보존 법칙이 성립한다.
m1v1 + m2v2 = 0            v1/v2 = -m2/m1
즉, 분열할 때 속력 비는 질량 비에 반비례한다.
두 공이 반발 된 후 t초 후의 처음 위치로부터 거리는 x1=v1t, x2=v2t만큼 이동하므로 속력 비는 다음과 같다.
v1/v2=m2/m1=x1/x2
이 관계는 계속 성립하므로 매 시각에서의 질량 중심의 위치는 매 시각에서 두 공 A, B 사이의 거리를 질량에 반비례하여 내분한 점, 즉 처음의 질량 중심 G가 된다.