등가속도 운동

가속도
우리 주변에서 보는 물체의 운동은 속력과 방향이 일정한 운동(등속도 운동)보다는 대부분 속력과 방향이 변하는 운동이다. 예를 들어 자동차로 한 장소에서 다른 장소로 이동할 때 모든 구간에서 등속도로 달릴 수는 없다. 가속 페달을 밟을 때에는 자동차의 속도가 증가하고, 브레이크 페달을 밟을 때에는 자동차의 속도가 감소한다. 또 굽은 도로에서 방향을 바꿀 때에도 속도는 변한다. 이와 같이 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때 그 물체는 가속도 운동을 한다고 한다.
(1) 가속도
단위 시간동안 속도의 변화량을 가속도라고 한다. 물체가 직선상에서 운동할 때 처음 속도를 V0, 시간 t 후의 나중 속도를 v라고 하면 가속도 a는 다음과 같다.
가속도 = 속도 변화량/걸린 시간 = 나중 속도 - 처음 속도/걸린 시간

a=V-V0/t 나중 속도 V=V0+at

1. 가속도는 크기와 방향을 갖는 벡터양이며, 방향은 속도 변화량의 방향과 같다.
2. (+) 가속도일 때 물체의 속력은 증가하고, (-) 가속도일때 속력은 감소한다.
3. 곡선 운동은 시시각각 운동 방향이 달라지므로 항상 속도가 변하며 가속도 운동을 한다. 이때 가속도의 정의는 직선 운동에서와 같다.

(2) 속도 변화량
물체의 속도가 시간에 따라 변하는 경우 물체의 운동은 가속도 운동이다. 시간 t 동안에 속도가 V1에서 V2로 변하였다면 시간 t 동안의 속도 변화량 Δv는 나중 속도(V2)에서 처음 속도(V1)를 뺀 값이다.
ΔV = V2 - V1
속도는 벡터양이므로 ΔV = V2 - V1의 계산은 벡터적으로 한다. 평면의 경우 평행사변형법으로 하고, 직선 운동의 경우 V1 방향을 (+)로 하여 V2의 부호를 정한다.

평균 가속도와 순간 가속도
직선 운동하는 물체의 속도가 시간에 따라 변할 때 속도 - 시간 그래프가 오른쪽과 같다면
(1) 평균 가속도
시각 t1에서의 속도가 V1이고, 시각 t2에서의 속도가 V2로 되었다면 시간 Δt 동안 속도 변화량은 ΔV이므로 이 시간 동안에 평균 가속도 a평은
a평 = ΔV/Δt = (V2 - V1) / (t2 - t1) = BC / AC
이고, 이것은 속도 - 시간 그래프에서 직선 AB의 기울기와 같다. 이와 같이 어느 일정한 시간 동안 변한 속도를 걸린 시간으로 나눈 것을 평균 가속도라고 한다.
(2) 순간 가속도
시간 Δt를 매우 짧게 하면 그 동안의 속도 변화량도 매우 작아진다. 이때의 가속도 a는
a = ΔV/Δt = CD/AC
이고, 이것은 시각 t1에서의 순간 가속도이다.
시각 t1에서 순간 가속도는 A점에서 접선의 기울기와 같다.

공간상에서의 가속도 운동
평면이나 공산상에서 곡선 운동하는 물체는 운동 방향이 시시각각으로 변하므로 속도가 변하는 가속도 운동을 한다.
곡선 운동에서의 가속도는 직선 운동에서의 정의와 같이 단위 시간에 따른 속도 변화량으로 구한다.
(1) 곡선 운동에서의 속도 변화량
물체가 지점 P에서 Q까지 운동하였을 때 속도 변화량 ΔV는 속도 벡터 V1, V2의 출발점을 임의의 점 O에 평행 이동시켜 그리면, 처음 속도 V1의 화살 머리에서 나중 속도 V2의 화살 머리로 그은 선분과 방향이 된다.
속도 변화량 = 나중 속도 - 처음 속도
ΔV = V2-V1(벡터 계산)
(2) 곡선 운동에서의 가속도
시각 t1일때 순간 속도가 V1인 물체가 가속도 운동을 하여 시각 t2일 때 순간 속도가 V2로 되었다면 이 물체의 가속도 a는
a=(V2-V1) / (t2-t1) = ΔV / Δt
이며, 방향은 ΔV와 같다.

호도 그래프
그림에서 화살 앞머리 Q의 변위 Q0Q1은 처음 운동의 속도 변화 ΔV를 의미한다. 이와 같이 곡선 경로 위의 각 점 P0, P1, P2... 에서의 속도 벡터 V0, V1, V2...의 출발점을 어떤 점 O에 평행 이동시켰을 때 벡터의 앞머리 끝을 연결한 선 Q0Q1, Q1Q2, Q2Q3 ...를 이 운동의 호도 그래프 또는 속도 그림이라고 한다.

등가속도 직선 운동
직선상에서 일정한 가속도 a로 움직이는 물체의 운동을 등가속도 직선 운동이라고 한다.
등가속도 직선 운동은 물체의 가속도가 일정하므로 속도는 일정하게 증가하거나 감소하며, 평균 가속도와 순간 가속도는 같다.
(1) 등가속도 직선 운동의 공식
처음 속도를 V0, 나중 속도를 v, 가속도를 a, 시간을 t라고 하면
1. 속도와 시간의 관계 : 처음 속도(초속도)가 V0인 어떤 물체가 일정한 가속도 a로 직선 운동을 하면 t초 후에는 물체의 속도가 at만큼 변한다. 따라서 t초 후의 속도 v는 처음 속도 V0에 변화된 속도 at를 합한 것이 된다. 이것은 가속도의 정의에서도 구할 수 있다.
a = V-V0/t V=V0 + at
2. 변위와 시간의 관계 : 어떤 시각에서 Δt 동안 속도가 v'으로 일정하다면 그래프 (가)에서 진한 부분의 직사각형 넓이에 해당하는 v'Δt는 Δt 동안에 물체가 이동한 거리, 즉 변위를 나타낸다.
따라서 시간 t 동안 변위 s는 작은 직사각형들의 넓이들을 모두 합한 것이 되며, 이것은 그래프 (나)와 같이 v-t 그래프의 직선 아래 넓이, 즉 사다리꼴의 넓이가 된다.
s = 1/2(V0+V)t = 1/2(V0 + V0 + at)t     s=V0t + 1/2at^2
3. 변위가 속도의 관계 : 변위 식에 t=V-V0/a 를 대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
2as = v^2 - V0^2
(2) 등가속도 운동의 그래프
1. 가속도가 (+)일 때 등가속도 직선 운동의 그래프 : 힘의 방향과 물체의 운동 방향이 같은 경우로 속력이 점점 증가한다.
2. 가속도가 (-)일 때 등가속도 직선 운동의 그래프 : 힘의 방향과 물체의 운동 방향이 반대일 경우로 속도가 감소하다가 결국 정지한다. 정지해서도 힘이 계속 작용하면 물체가 처음과 반대 방향으로 진행한다.

변위와 속도

백터와 스칼라
모든 물리량은 백터양과 스칼라양으로 구분된다.
(1) 백터양
변위, 속도, 가속도, 힘, 운동량, 충격량, 전기장, 자기장, 토크, 각운동량과 같이 크기와 방향을 갖는 물리량이다. 예를 들어 어떤 물체에 10N의 힘을 가했다고 하면 이것만으로 그 물체의 운동 상태를 알 수 없다. 왜냐 하면 힘을 가하는 방향이 수평, 또는 연직 위, 아래 방향이냐에 따라 그 힘의 효과가 다르기 때문이다. 따라서 힘은 힘의 크기 외에 방향도 알아야 한다.
(2) 스칼라양
시간, 이동 거리, 길이, 질량, 속도, 온도, 일, 에너지 등과 같이 크기만을 갖는 물리량으로 수학의 사칙연산 (+, -, *, /) 으로 계산이 된다.
예를 들어 어떤 물체의 온도가 -5도라고 하면 이것만으로 그 물체의 온도는 완전히 결정된다. 여기서 남쪽 방향과 같은 공간에서의 방향은 필요없다. -5도의 (-)는 기준으로 정한 0도보다 5도가 낮다는 것이다.

벡터의 성질
(1) 두 벡터의 동등성
1. 두 벡터 A, B의 크기와 방향이 같을 때 두 벡터는 같다고 하고, A=B로 나타낸다.
2. 벡터의 평행 이동과 (-) 백터 : 오른쪽 그림과 같이 벡터를 평행 이동시켜도 크기와 방향이 변하지 않으므로 같은 벡터이다. 벡터 A와 크기가 같고 방향이 정반대인 벡터를 A의 (-)벡터라 하고, -A로 표시한다.
3. 벡터의 상수배 : 벡터 A를 n배한 벡터 nA는
n>0일 경우, 벡터 A와 같은 방향이고 크기는 n배이다.
n<0일 경우, 벡터 A와 반대 방향이고, 크기는 |n|배이다.

(2) 벡터의 덧셈
두 개의 벡터 A, B가 있을 때 이 두 벡터를 합한 벡터 C = A + B를 구하는 것을 벡터의 합성이라고 하며, 이렇게 구한 벡터 C를 합벡터라고 한다.
벡터를 더하는 방법으로는 기하학적 방법과 대수적인 방법이 있다.

두 벡터 A와 B의 덧셈에서 더하는 순서는 관계가 없다.
A+B = B+A
두 개 이상의 벡터를 더할 때 그들을 어떻게 묶어도 관계가 없다.
(A+B)+C = A+(B+C)
벡터의 덧셈에서는 분해 법칙이 성립한다.
n(A+B) = nA+nB

평행사변형법 : 두 벡터 A, B를 더할 때 오른쪽 그림

과 같이 두 벡터 A, B의 출발점을 일치시키고, A, B를 이웃한 두 변으로 하는 평행사변형을 그리면 평형사변형의 대각선이 합벡터 C가 된다.

C = A+B = B+A

합벡터 C의 크기는 대각선의 길이이고, 방향은 대각선의 방향이 된다. 이와 같은 벡터의 합성 방법을 평행사변형법이라고 한다. 이때 두 벡터 A와 B가 이루는 각이 θ일때 합벡터의 크기 C는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

|C| = sqrt(A^2 + B^2 + 2ABcosθ)

2. 삼각형법

벡터 A의 머리에 벡터 B의 꼬리가 오도록 B를 평행 이동시킨 후, A의 꼬리에서 B의 머리까지 화살표로 그은 벡터 C가 A와 B의 합벡터가 된다. 이와 같은 벡터의 합성 방법을 삼각형법이라고 한다.

대수적인 방법 : 네 벡터 A, B, C, D를 합성하는 대수적인 방법은 각 벡터를 x, y 직교 좌표로 분해하여 성분 벡터를 이용하는 것이다. 합벡터를 R라고 하면

R = A+B+C+D 이다.

이때 각 벡터의 직각 성분을 (Rx, Ry), (Ax, Ay), (Bx, By), ..., 또 각 벡터가 x축과 이루는 각을 θr, θa, θb 라고 하면

Rcosθr= Acosθa + Bcosθb + Ccosθc + Dcosθd

Rx = Ax + Bx + Cx + Dx

Rsinθr = Asinθa + Bsinθb + Csinθc + Dsinθd

Ry = Ay + By + Cy + Dy

이다. 따라서 합벡터 R의 크기는 

R = sqrt(Rx^2 + Ry^2) = sqrt((Ax+Bx+Cx+Dx)^2 + (Ay+By+Cy+Dy)^2)

이고, 합벡터 R의 방향은 tanθr = Ry / Rx = Ay+By+Cy+Dy / Ax+Bx+Cx+Dx 이다.

이 경우에 각 성분의 (+), (-) 부호를 고려하여 합해야 한다.

(3) 벡터의 뺄셈

벡터 A에서 B를 뺄 때에는 그림과 같이 벡터 B와 길이가 같고 방향이 정반대인 -B를 그린 다음, A와 (-B)를 삼각형법으로 합성하면 된다.

벡터 A와 B의 차 A-B는 A와 -B의 합인 A+(-B)와 같으므로 다음과 같이 표시한다.

C=A-B=A+(-B)

이때 벡터 C는 벡터 B의 머리에서 A의 머리로 그은 직선이 된다.

(4) 벡터의 분해

벡터를 합성하는 경우와는 반대로 한 개의 벡터 A와 같은 효과를 내는 두 개 이상의 벡터를 구하는 것을 벡터의 분해라고 하며, 이 벡터를 성분 벡터라고 한다.

벡터를 분해하는 방법은 벡터를 합성할 때와 반대 과정이다.

1. 평행사변형법을 이용한 벡터의 분해 : 벡터 A를 분해할 때 주어진 벡터 A를 대각선으로 하는 평행사변형을 그리면 이웃한 두 변이 분해된 성분 벡터가 된다. 분해하는 방향은 임의로 정할 수 있다. 따라서 무수히 구할 수 있다.

2. 직교 좌표계에서 벡터의 분해 : 일반적으로 한 벡터 A를 분해하는 경우 서로 직각인 두 방향(x 방향과 y 방향)으로 분해한다. 이때 분해하여 얻은 두 벡터 Ax, Ay를 처음 벡터 A의 x 성분 벡터, y 성분 벡터라고 한다.

벡터 A가 x축과 이루는 각을 θ라고 하면 다음의 관계가 성립된다.

성분 벡터의 크기 : Ax = Acosθ, Ay = Asinθ

벡터합 : A = Ax + Ay

크기 : A = sqrt(Ax^2 + Ay^2)

방향 : tanθ = A^y/A^x

3. 같은 크기의 두 성분 벡터로 분해 : 한 벡터 F를 같은 크기의 두 성분 벡터로 분해하는 경우 두 성분 벡터로 그린 평행사변형은 마름모꼴이 된다. 이때 두 대각선은 서로 수직 이등분하므로 성분 벡터의 크기가 f이면 벡터 F의 크기는

F=2fcosθ/2 또는 F=sqrt(f^2 + f^2 + 2f^2cosθ) 가 된다.

위치 벡터와 변위

위치 벡터

기준점에 대한 물체의 위치를 나타내는 벡터를 위치 벡터라고 한다. 위치 벡터는 어떤 기준점(또는 좌표의 원점)에서 물체의 위치까지 그은 직선으로 나타낸다. 그림에서 벡터 r1과 r2는 점 P와 Q의 위치 벡터를 나타낸다.

변위는 물체의 위치 변화를 나타내는 벡터로, 나중 위치 벡터와 처음 위치 벡터의 차로 나타낸다.

변위는 이동 경로에 관계없이 운동의 출발점에서 운동의 끝점을 연결한 직선의 크기와 그 방향이다.

위치 벡터는 기준점에 따라 변하지만 변위는 기준점의 위치가 바뀌어도 변하지 않는다.

속도

두 물체가 같은 위치를 같은 속력으로 동시에 통과하여도 운동 방향이 다르면 도착점이 달라지므로 운동의 결과는 다르게 된다. 따라서 물체의 운동 상태를 나타낼 때에는 속력만으로는 충분하지 않고 방향도 함께 나타내야 한다. 이와 같이 물체의 속력과 방향을 함께 나타내는 양을 속도라고 한다.

곡선 운동에서 속력, 속도의 정의는 직선 운동에서의 속력, 속도의 정의와 같다.

(1)속도

물체가 운동할 때 단위 시간 동안에 일어난 변위를 속도라고 한다. 오른쪽 그림과 같이 시간 Δt 동안에 물체가 곡선 경로를 따라 P1점에서 P2점으로 운동하였다면 물체의 변위는 Δr(=r2-r1)가 된다. 따라서 속도 v(평균 속도 v평)는

속도 = 변위 / 걸린 시간, v=Δr/Δt(m/s)

이다.

1. 직선 운동의 경우, 한쪽 방향의 속도를 (+)를 표시하면 정반대 방향의 속도는 (-)로 나타낸다.

2. 곡선 운동의 경우, 어떤 위치에서 속도(순간 속도)의 방향은 그 위치에서 경로의 접선 방향이다.

(2) 평균 속도와 순간 속도

1. 평균 속도 : 오른쪽 그림과 같은 곡선을 따라 운동하는 물체가 시간 Δt(=t2-t1) 동안 P점에서 Q점까지 운동하였다면 이 동안의 변위는 Δr(=r2-r1)이므로

v평=Δr/Δt = r2-r1/Δt(m/s)

가 된다. 이때 평균 속도의 방향은 변위 Δr의 방향이다.

2. 순간 속도 : 시간 Δt(=t2-t1)를 점점 짧게 하면 Q점은 P점에 점점 가까워지고 변위 Δr의 방향은 P점에서의 접선 방향이 된다. 매우 짧은 시간 Δt 동안의 변위는 매우 짧은 Δr이므로 근사적으로 직선 운동이라 할 수 있다. 이러한 극한에서의 속도를 P점에서의 순간 속도라고 한다. 따라서 P점에서의 순간 속도 v(또는 단순히 속도라고도 한다)는 다음과 같다.

v=Δr/Δt(m/s) (Δt : 매우 짧은 시간)

어떤 위치에서 물체의 속도라는 것은 순간 속도를 의미한다.

순간 속도가 계속 일정한 물체의 운동을 등속 직선 운동(등속도 운동)이라고 하며, 이때 평균 속도와 순간 속도는 같다.

시간 Δt를 충분히 작게 하면 그 동안의 변위 Δr도 극한적으로 작아진다. 이때의 Δr/Δt를 점 P(시각 t1)에서의 순간 속도라고 한다.

상대 속도

물체의 운동은 항상 어떤 좌표계를 기준으로 하여 위치, 속도 등이 기술된다. 일반적으로 물체의 속도는 지면을 기준으로 하여 표시하지만, 운동하고 있는 다른 물체를 기준으로 하여 표시할 수도 있다. 운동하고 있는 다른 물체나 좌표계를 기준으로 하여 물체의 운동을 생각한 속도, 즉 운동하고 있는 관측자가 본 물체의 속도를 관측자에 대한 물체의 상대 속도라고 한다.

물체 A(관측자)는 Va의 속도로, 물체 B는 Vb의 속도로 운동하고 있을 때 관측자 A가 본 B의 상대 속도 Vab는 다음과 같다.

상대속도/Vab = 상대방 속도/Vb - 관측자 (나)의 속도/Va

Vab - Vb - Va (벡터 뺄셈)

(1) 일직선상을 같은 방향으로 운동하는 경우의 상대 속도

자동차 A, B가 각각 일정한 속도 Va, Vb로 같은 직선 도로 위를 같은 방향으로 달리고 있다. 어떤 시각에서 자동차 A, B의 위치를 A1, B1, 그로부터 시간 Δt 후의 위치를 A2, B2라고 하면 시간 Δt동안 B는 A로부터 거리 B1B2 - A1A2만큼 떨어진 거리가 변한다.

이 거리는 B가 시간 Δt동안에 A에서 본 상대 속도로 이동해간 거리이므로 A에서 본 B의 상대 속도 Vab는 다음과 같다.

VabΔt = B1B2 - A1A2 = VbΔt - VaΔt

Vab = Vb - Va

(2) 일직선상을 반대 방향으로 운동하는 경우의 상대 속도

오른쪽 그림과 같이 자동차 A, B가 각각 일정한 속도 Va, Vb로 같은 직선 도로 위를 반대 방향으로 달리고 있다. 어떤 시각에서 자동차 A, B의 위치를 A1, B1, 그로부터 시간 Δt 후의 위치를 A2, B2라고 하면 B가 시간 Δt 동안에 A에서 본 상대속도 Vab로 A쪽으로 운동한 거리 VabΔt는 다음과 같다.

VabΔt = A1A2 + B1B2 = (-VaΔt) + VbΔt

Vab = Vb - Va

(3) 평면 운동에서의 상대 속도

Va의 속도로 달리고 있는 자동차 A 안의 관측자가 속도 Vb로 달리는 자전거를 탄 사람 B의 운동을 볼 때의 상대 속도를 생각해 보자. A에 탄 사람이 보면 지면은 -Va의 속도로 운동하고 있는 것처럼 보이므로 B의 속도 Vb에 -Va가 더해진 것처럼 느껴진다. 따라서 이 두 속도를 평행사변형법으로 합성한 속도가 상대 속도 Vab이다. Vab = Vb - Va